[論文レビュー] H2-optimal approximation of MIMO linear dynamical systems

Paul Van Dooren, Kyle A. Gallivan+1 more|ArXiv.org|Jul 30, 2008

Model Reduction and Neural Networks参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、連続時間および離散時間の両設定において、ℋ₂ノルム誤差の停留点を接線的補間条件を用いて特徴付けることにより、多入力多出力（MIMO）線形動的システムに対するℋ₂最適モデル還元手法を提示する。主な貢献は、ジョルダン分解構造に結びついた補間制約を用いた最適低次元モデルのパrameter化であり、これにより非一意な状態空間実現の問題を克服しつつ勾配ベース最適化を可能にする。

ABSTRACT

We consider the problem of approximating a multiple-input multiple-output (MIMO) $p imes m$ rational transfer function $H(s)$ of high degree by another $p imes m$ rational transfer function $\hat H(s)$ of much smaller degree, so that the ${\cal H}_2$ norm of the approximation error is minimized. We characterize the stationary points of the ${\cal H}_2$ norm of the approximation error by tangential interpolation conditions and also extend these results to the discrete-time case. We analyze whether it is reasonable to assume that lower-order models can always be approximated arbitrarily closely by imposing only first-order interpolation conditions. Finally, we analyze the ${\cal H}_2$ norm of the approximation error for a simple case in order to illustrate the complexity of the minimization problem.

研究の動機と目的

• MIMO線形動的システムに対する低次元化された近似法としてのℋ₂最適法の開発。
• 連続時間および離散時間両システムにおけるℋ₂ノルム誤差の停留点を補間条件の観点から特徴づけること。
• 状態空間実現の非一意性に対処するため、冗長性のない、パrameterに依存しない停留点条件を導出すること。
• 低次数のシステム例を用いてℋ₂近似問題における局所的最小値の存在と性質を分析すること。
• ジョルダン標準形の代わりにシルベスタ方程式の定式化を用いることで、数値的に安定したℋ₂最適モデル還元フレームワークを提供すること。

提案手法

• ウィルソンの公式を用いて、二乗ℋ₂ノルム誤差の勾配を導出し、状態空間パrameterに関する最適化を可能にする。
• 伝達関数とその双対関数を含む接線的補間条件を用いてℋ₂最適近似器を特徴づける。この条件はジョルダンブロックパrameterの観点から表現される。
• 数値的安定性を確保するため、補間条件をシルベスタ方程式を用いて表現し、ジョルダン標準形に起因する悪条件化を回避する。
• 離散時間設定において、$ H_*(z) = z^{-1}H^T(z^{-1}) $ を用いて条件を再定式化する。
• 多項式ベクトルを用いた行列方程式を導出し、高次極を有する場合の条件を導出する。これは一次極に対する結果を一般化する。
• McMillan次数1および2のシステムにおける誤差ノルムの構造を分析し、複数の局所的最小値が存在することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℋ₂最適MIMO近似は、状態空間パrameter化に依存しない補間条件によって特徴づけられるか。
• RQ2 低次元モデルに高次ジョルダンブロックが存在する場合、補間条件はどのように変化するか。
• RQ3 すべての低次元モデルに対して、第一順位の補間条件のみで任意に近い近似が達成可能か。
• RQ4 シルベスタ方程式の定式化は、ジョルダン標準形に比べて数値的安定性をどのように向上させるか。
• RQ5 低次元システムにおけるℋ₂近似問題に、最大でいくつの局所的最小値が存在しうるか。

主な発見

• ℋ₂ノルム誤差の停留点は、伝達関数とその双対関数を含む接線的補間条件に対応し、ジョルダンブロックのサイズに依存する次数を持つ。
• 一次極の場合、条件は低次元モデルの極における伝達関数とその第一導関数の一致に簡略化され、[ML67]のSISO結果を一般化する。
• McMillan次数1および2のシステムにおける誤差ノルムの分析から、複数の局所的最小値が存在することが判明し、最適化問題の非凸性を示す。
• シルベスタ方程式に基づく補間条件の使用は、高次極付近で悪条件化するジョルダンベースの定式化に代わる、数値的に安定した代替手法を提供する。
• \min(p,m) > 1 のとき、次数 $ n $ の有理伝達関数の集合にはグローバルに滑らかなパrameter化が存在しないが、シルベスタ定式化により局所的な滑らかなパrameter化が可能である。
• 離散時間設定は双対伝達関数 $ H_*(z) $ を用いて完全に特徴づけられ、多項式展開 $ (\lambda - z) $ を用いて類似の補間条件が導出される。