[論文レビュー] Haag's theorem in renormalised quantum field theories

Lutz Klaczynski|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2016

Quantum Mechanics and Applications被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、相互作用が存在する場合、ハーグの定理が、自由場と相互作用場のユニタリ同値性が破綻するため、正準量子場理論が根本的に自明なものであると主張している。また、再生化がハーグの定理の中心的なユニタリ性仮定を破ることで、数学的障害にもかかわらず物理的に意味のある相互作用理論を可能にする、という点を示している。

ABSTRACT

We review a package of no-go results in axiomatic quantum field theory with Haag's theorem at its centre. Since the concept of operator-valued distributions in this framework comes very close to what we believe canonical quantum fields are about, these results are of consequence to quantum field theory: they suggest the seeming absurdity that this highly victorious theory is incapable of describing interactions. We single out unitarity of the interaction picture's intertwiner as the most salient provision of Haag's theorem and critique canonical perturbation theory to argue that renormalisation bypasses Haag's theorem by violating this very assumption.

研究の動機と目的

• 正準量子場理論におけるハーグの定理の基礎的意味を検討し、特に相互作用場と自由場がユニタリ同値になれないという主張を明らかにすること。
• 数学的に不整合を含むにもかかわらず、標準的摂動的QFTがなぜハーグの定理が示唆する自明性を回避しているかを検討すること。
• 再生化が、ハーグの定理の根拠となる仮定、特にユニタリ同値性の要請をどのように回避するかを明確にすること。
• 相互作用図式と正準交換関係が、ハーグの定理と再生化の文脈で果たす役割を分析すること。
• 摂動的QFTの成功と、このような理論が自明であるはずだと示唆する公理的枠組みの両立を説明すること。

提案手法

• ウィートマン公理とライシュ＝シュリーダーの定理の文脈でハーグの定理を分析し、真空状態が循環的であり、場演算子が自由場の運動方程式を満たす必要があることを示す。
• 相互作用図式のインターリンカーが相互作用の存在下でユニタリになれないことを示し、ユニタリ性が保たれない限り、相互作用場が自由場とユニタリ同値になれないという結論に至る。
• ゲルマン＝ロウの定理を適用し、相互作用の断続的スイッチングが非ユニタリな時間発展をもたらし、再生化されたS行列計算に不可欠であることを示す。
• ヨスト＝シュレーアの定理とスペクトル解析を用いて、質量ヒッパーボリック上に支持される場演算子が自由場の交換関係を満たさなければならないことを示す。
• ウェッジの縁の定理を適用し、特定の交換子分布が消えることを証明し、場の交換子がWightman関数によって完全に決定されることに至る。
• 再生化がハーグの定理のユニタリ性仮定を破ることで、ヒルベルト空間構造を変更する補正項を導入し、非自明な相互作用を可能にするという主張を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜハーグの定理は、相互作用を含む正準量子場理論が数学的に自明であると示唆するのか？
• RQ2 相互作用図式におけるユニタリ同値性の失敗が、相互作用場が自由場とユニタリ同値になれないという結論にどのように導くのか？
• RQ3 再生化がハーグの定理の仮定、特にインターリンカーのユニタリ性をどのように破るのか？
• RQ4 ゲルマン＝ロウの定理は、ハーグの定理にもかかわらず非自明なS行列要素を可能にする上で果たす役割は何か？
• RQ5 ウィートマン公理と場演算子のスペクトル的性質は、相互作用を含む量子場の構造にどのように制約を加えるか？

主な発見

• ハーグの定理は、標準的な公理的枠組みにおいて、自由場と相互作用場の間の唯一のユニタリインターリンカーは自明であり、S行列も自明であると示唆する。
• 相互作用図式のインターリンカーは、相互作用が存在する場合にはユニタリになれないため、相互作用場が自由場とユニタリ同値になれないという結論に至る。
• 再生化はユニタリ性仮定を破ることでハーグの定理を回避する：補正項が定理が要請するユニタリ同値性を破る。
• ゲルマン＝ロウの定理は、断続的スイッチングされた相互作用が、完全なインターリンカーがユニタリでないにもかかわらず、非自明なS行列要素をもたらすことを示している。
• 場演算子のスペクトル解析により、それらが質量ヒッパーボリック上に支持され、交換子がWightman関数によって完全に決定されることを示し、Wick順序化された縮約が得られる。
• 場の交換子の真空期待値は $ W(f,h) - W(h,f) $ で与えられ、奇数次のWightman関数は消え、偶数次の関数はWick縮約の和で表される。