[論文レビュー] Haagerup approximation property and positive cones associated with a von Neumann algebra

Rui Okayasu, Reiji Tomatsu|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2014

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ひとこと要約

本稿は、アラキの正の錐の1パラメータ族を用いて、von Neumann代数におけるα-ハーゲルップ近似性質（α-HAP）を導入し、α ∈ [0, 1/2] に対してα-HAPがαに依存しないことを証明する。標準形式に基づく定義と完全正値写像に基づく定義の2つが同等であることを確立し、その結果を非可換L^p空間（1 < p < ∞）に拡張して、L^p-HAPがpに依存しないことを示す。

ABSTRACT

We introduce the notion of the $α$-Haagerup approximation property for $α\in[0,1/2]$ using a one-parameter family of positive cones studied by Araki and show that the $α$-Haagerup approximation property actually does not depend on a choice of $α$. This gives us a direct proof of the fact that two characterizations of the Haagerup approximation property are equivalent, one in terms of the standard form and the other in terms of completely positive maps. We also discuss the $L^p$-Haagerup approximation property for a non-commutative $L^p$-spaces associated with a von Neumann algebra ($1

研究の動機と目的

• 一般のvon Neumann代数におけるハーゲルップ近似性質（HAP）の2つの異なる定義が同等であるかどうかという未解決問題を解消すること。
• 循環的かつ分離的ベクトルに関連するアラキの1パラメータ族の正の錐を用いて、α-Haagerup近似性質を定義し、その性質を研究すること。
• α ∈ [0, 1/2] の選択に依存しないα-HAPを証明することで、HAPの2つの定義を統一すること。
• 非可換L^p空間（1 < p < ∞）へのHAPの拡張を行い、L^p-HAPがpに依存しないことを示すこと。
• L^p空間におけるHAPと完全正値近似性質（CPAP）の関係を確立すること。

提案手法

• α ∈ [0, 1/2] に対して、アラキの正の錐 P^α を用いてα-Haagerup近似性質を定義する。これらは標準錐 P^0、自然錐 P^{1/4}、双対錐 P^{1/2} を補間する。
• α-HAPがαに依存しないことを示す。具体的には、von Neumann代数Mがあるα ∈ [0, 1/2] に対してα-HAPを満たすならば、すべてのα ∈ [0, 1/2] に対して満たすことを証明する。
• カルデロンの複素補間法を用いて、異なるpに対するL^p空間を関連づけ、特に標準形式L^2(M) と 1 < p < ∞ に対するL^p(M) を結びつける。
• 関連するGNS表現と実装写像を用いて、L^p(M) 上の有界線形作用素のネットを構成し、恒等作用素に強く収束するようにする。
• 複素補間の再帰定理を用いて、L^pからL^2、およびL^2からL^pへのコンパクト性と収束性の性質の移行を可能にする。
• A. M. TorpeとL. M. Schmittの手法を応用し、M上の完全正値写像とL^p(M)上の完全正値写像の関係を確立する。コア代数の永続性結果に依存しない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準形式に基づく定義と完全正値写像に基づく定義の2つが、一般のvon Neumann代数において同等であるか？
• RQ2 アラキの1パラメータ族の正の錐を用いて定義されるα-Haagerup近似性質は、α ∈ [0, 1/2] の選択に依存するか？
• RQ3 非可換L^p空間（1 < p < ∞）におけるL^p-Haagerup近似性質は、pの選択に依存しないか？
• RQ4 既知のCPAPの同等性と同様に、L^p空間におけるHAPとCPAPの同等性をHAP設定に拡張できるか？
• RQ5 アラキの正の錐は、ハーゲルップ近似性質の異なる定式化を統一する役割を果たすか？

主な発見

• α-Haagerup近似性質はα ∈ [0, 1/2] に依存しない。つまり、あるα ∈ [0, 1/2] に対してvon Neumann代数Mがα-HAPを満たすならば、区間内のすべてのαに対して満たす。
• 標準形式に基づく定義と完全正値写像に基づく定義の2つが同等であることが示され、これはアラキの錐を直接的に用いた内在的で明示的な証明によって確立された。
• L^p-Haagerup近似性質はp ∈ (1, ∞) に依存しない。したがって、Mがあるp ∈ (1, ∞) に対してL^p-HAPを満たすならば、すべてのp ∈ (1, ∞) に対して満たす。
• von Neumann代数Mがハーゲルップ近似性質を満たすための必要十分条件は、すべてのp ∈ (1, ∞) に対してL^p(M)がL^p-HAPを満たすことであり、これはL^p(M)上での正規、完全正値、コンパクト作用素のネットが恒等作用素に強く収束することと同値である。
• L^p-HAPのp-独立性の証明は、複素補間と再帰定理に依存しており、これによりL^pからL^2、およびL^2からL^pへのコンパクト性と強い収束性の性質の移行が可能になる。
• 既知のM上のCPAPとL^p(M)上のCPAPの同等性をHAP設定に一般化し、MがHAPを満たすための必要十分条件は、ある／すべてのp ∈ (1, ∞) に対してL^p(M)がCPAPを満たすことであることを示した。