[論文レビュー] Haar-finite sets in metric groups and their applications

Тарас Банах, Eliza Jabłońska|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2017

Advanced Topology and Set Theory参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、距離群におけるゼロ有限集合を導入し、ハール零集合とハール滑らか集合を統合する新しい小さな集合の族を提示する。完全な距離アーベル群におけるボレルゼロ有限集合が、両方の性質（ハール零およびハール滑らか）を有することを証明し、関数方程式に応用することで、完全な距離線形空間における開凸集合上の中点凸関数が、非ゼロ有限なボレル集合上で上に有界であれば連続であることを示した。これは、関数方程式分野における長年の未解決問題を解決するものである。

ABSTRACT

In the paper we introduce a new family of small sets which is tightly connected with two well known $\sigma$-ideals: of Haar-null sets and of Haar-meager sets. We define a subset $A$ of a topological group $X$ to be $\mathit{null}$-$\mathit{finite}$ if there exists an infinite compact subset $K\subset X$ such that for every $x\in X$ the intersection $K\cap (x+A)$ is finite. We prove that each null-finite Borel set in a complete metric Abelian group is Haar-null and Haar-meager. The Borel restriction in the above result is essential as each non-discrete metric Abelian group is the union of two null-finite sets. Applying null-finite sets to the theory of functional equations and inequalities, we prove that a mid-point convex function $f:G o\mathbb R$ defined on an open convex subset $G$ of a metric linear space $X$ is continuous if it is upper bounded on a subset $B$ which is not null-finite and whose closure is contained in $G$. This gives an alternative short proof of a known generalization of Bernstein-Doetsch theorem (saying that a mid-point convex function $f:G o\mathbb R$ defined on an open covex subset $G$ of a metric linear space $X$ is continuous if it is upper bounded on a non-empty open subset $B$ of $G$). Since Borel null-finite sets are Haar-meager and Haar-null, we conclude that a mid-point convex function $f:G o\mathbb{R}$ defined on an open convex subset $G$ of a complete linear metric space $X$ is continuous if it is upper bounded on a Borel subset $B\subset G$ which is not Haar-null or not Haar-meager in $X$. The last result resolves an old problem in the theory of functional equations and inequalities posed by Baron and Ger in 1983.

研究の動機と目的

• 位相群における新しい小さな集合のクラス、すなわちゼロ有限集合を定義し、研究すること。この集合は、ハール零集合とハール滑らか集合の性質を統合する。
• 完全な距離アーベル群において、ボレルゼロ有限集合がハール零およびハール滑らかであることを示し、群上の測度論における基礎的問題に答えること。
• ゼロ有限集合の理論を関数方程式に応用し、特に中点凸関数の連続性基準を検討すること。
• バロンとゲルが1983年に提起した、中点凸関数の連続性に関する未解決問題を、弱い有界性仮定のもとで解決すること。

提案手法

• 位相群 $ X $ の部分集合 $ A \subset X $ が、ある無限コンパクト集合 $ K \subset X $ が存在して、任意の $ x \in X $ に対して $ K \cap (x + A) $ が有限集合であるとき、$ A $ をゼロ有限集合と定義する。
• 完全な距離アーベル群の構造を用いて、すべてのボレルゼロ有限集合がハール零およびハール滑らかであることを証明する。
• 中点凸関数の有界性が非ゼロ有限なボレル集合上で評価されることを解析することで、ゼロ有限集合の枠組みを関数方程式に応用する。
• ボレルゼロ有限集合がハール滑らかかつハール零であるという事実を活用し、より弱い有界性条件のもとで連続性を導く。
• $ \sigma $-イデアルと位相群構造の理論を用いて、小さな性質と実数値関数の正規性との間の関係を確立する。
• 開有界性仮定を非ゼロ有限性に置き換えることで、ベルンシュタイン＝ドエツヒュの定理の短い代替証明を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相群におけるゼロ有限集合、ハール零集合、ハール滑らか集合の関係は何か？
• RQ2 完全な距離アーベル群におけるボレルゼロ有限集合は、必然的にハール零かつハール滑らかか？
• RQ3 ベルンシュタイン＝ドエツヒュの定理における有界性条件は、開集合から非ゼロ有限なボレル集合へ弱められるか？
• RQ4 完全な距離線形空間における開凸部分集合上の中点凸関数が、非ゼロ有限なボレル集合上で上に有界であれば、連続性を保つのか？
• RQ5 ゼロ有限集合を用いて、1983年にバロンとゲルが提起した中点凸関数の連続性に関する問題を解決できるか？

主な発見

• 完全な距離アーベル群におけるすべてのボレルゼロ有限集合は、ハール零かつハール滑らかである。
• 非離散な距離アーベル群は、二つのゼロ有限集合に分割可能であり、主定理におけるボレル制限が本質的であることを示している。
• 距離線形空間の開凸部分集合 $ G $ 上で定義された中点凸関数 $ f: G \to \mathbb{R} $ は、$ G $ に含まれる閉包を持つ非ゼロ有限な集合 $ B \subset G $ 上で上に有界であれば連続である。
• 開有界性条件を非ゼロ有限性に置き換えることで、一般化されたベルンシュタイン＝ドエツヒュの定理の新しい簡潔な証明が得られる。
• 完全な線形距離空間において、中点凸関数がハール零でないか、ハール滑らでないボレル部分集合 $ B \subset G $ 上で上に有界であれば連続であり、バロンとゲルの1983年の問題が解決される。
• ゼロ有限集合は、ハール零集合とハール滑らか集合を統合する枠組みを提供し、関数方程式および位相群論の新しい道具をもたらす。