[論文レビュー] Haar states and L\'evy processes on the unitary dual group

Guillaume Cébron, Michaël Ulrich|arXiv (Cornell University)|May 29, 2015

Random Matrices and Applications参考文献 32被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ユニタリ双対群（unitary dual group）におけるハール状態とレヴィ過程を調査する。ユニタリ群 U(n) を一般化する非可換構造としてのユニタリ双対群を対象とし、自由、テンソル、ブール、単調、反単調の5つの標準的畳み込みに対して、ハール状態の非存在を証明するが、自由およびテンソル畳み込みに対しては弱い「ハールトレース」の存在を確立する。自由ハールトレースは、次元 → ∞ のとき、ハールユニタリ行列のブロックの分布収束の極限として示され、古典的ユニタリ群からの確率的行列ブロックの極限として得られる自由レヴィ過程のクラスが、双対群上に特定される。

ABSTRACT

We study states on the universal noncommutative *-algebra generated by the coefficients of a unitary matrix, or equivalently states on the unitary dual group. Its structure of dual group in the sense of Voiculescu allows to define five natural convolutions. We prove that there exists no Haar state for those convolutions. However, we prove that there exists a weaker form of absorbing state, that we call Haar trace, for the free and the tensor convolutions. We show that the free Haar trace is the limit in distribution of the blocks of a Haar unitary matrix when the dimension tends to infinity. Finally, we study a particular class of free L\'evy processes on the unitary dual group which are also the limit of the blocks of random matrices on the classical unitary group when the dimension tends to infinity.

研究の動機と目的

• ユニタリ双対群における5つの標準的畳み込み（自由、テンソル、ブール、単調、反単調）に対するハール状態の存在を調査すること。
• 自由およびテンソル畳み込みに対しては、弱い吸収状態と呼ばれる「ハールトレース」の存在を確立すること。
• 自由ハールトレースが、次元が無限大に近づく際のハールユニタリ行列のブロックの分布収束として特定されることを示すこと。
• 古典的ユニタリ群上の確率的行列過程のブロックの極限として得られる、ユニタリ双対群上の自由レヴィ過程のクラスを特定すること。
• 確率的行列ブロックが自由レヴィ過程に収束する新たな証明を提示し、フォック空間上における自由レヴィ過程の埋め込み定理を確立すること。

提案手法

• ボイクルスキーの双対群フレームワークを用いて、ユニタリ双対群 U⟨n⟩ を、ユニタリ行列関係を持つ非可換 ∗-代数 Unc_n として構成し、5つの畳み込み構造を導入する。
• 組み合わせ的自由確率論および自由コマリントリック理論を用いて、Mn(C) 上の正規化トレースと円周上のハール測度の自由積状態が、自由畳み込みにおけるハールトレースであることを証明する。
• シュールマン三重項理論を応用して、フォック空間上での確率的微分方程式を介して、U⟨n⟩ 上の自由レヴィ過程の生成子を特徴付ける。
• N → ∞ のとき、U(nN) 上のブラウン運動のブロックが、U⟨n⟩ 上の自由レヴィ過程に ∗-分布収束することを示す。
• ハールユニタリ行列ブロックの極限として、自由ハールトレースの確率的行列モデルを構築し、分布収束が成り立つことを示す。
• 表現 jt(uij) = E1iUtEj1 を用いて、自由レヴィ過程をフォック空間構成に埋め込み、自由レヴィ過程の埋め込み定理を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユニタリ双対群上における5つの標準的畳み込み（自由、テンソル、ブール、単調、反単調）に対して、ハール状態は存在するか？
• RQ2 自由およびテンソル畳み込みに対しては、弱い吸収状態（「ハールトレース」と呼ばれる）を定義できるか？
• RQ3 自由ハールトレースは、行列次元が無限大に近づく際のハールユニタリ行列の n² 個のブロックの分布収束として得られるか？
• RQ4 どの自由レヴィ過程が、古典的ユニタリ群上のレヴィ過程のブロックの極限として得られるか？
• RQ5 確率的行列ブロックが自由レヴィ過程に収束する過程を、新たな確率的微分積分学的手法を用いて再証明できるか？

主な発見

• n ≥ 2 のとき、ユニタリ双対群上における5つの標準的畳み込みすべてに対してハール状態は存在しない。
• 自由およびテンソル畳み込みに対してはハールトレースが存在するが、ブール、単調、反単調畳み込みに対しては存在しない。
• 自由ハールトレースは、次元 N → ∞ のとき、サイズ nN のハールユニタリ行列の n² 個のブロックの分布収束として得られる。
• 自由ハールトレースは、古典的ユニタリ群 U(nN) 上のブラウン運動のブロックの極限として得られる。
• 特定のクラスの自由レヴィ過程が、[9] のレヴィ過程モデルのブロックの極限として N → ∞ のとき得られることを示した。
• Jt(uij) = E1iUtEj1 で定義される自由レヴィ過程 (Jt)t≥0 は、t → ∞ のとき、自由ハールトレースに分布収束する。ここで (Ut)t≥0 は自由ユニタリブラウン運動である。