[論文レビュー] Haar system as Schauder basis in Besov spaces: The limiting cases for 0 < p <= 1

Peter Oswald|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2018

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、0 < p < 1 および 0 < q ≤ p のとき、臨界限界ケース s = d(1/p − 1) において、古典的および差分に基づくベソフ空間における d 次元ハール系のシュアウトェル基底性を確立する。原子的分解と局所平均を用いて、これらの条件下でハール系が Bs_p,q,1(Id) および Bs_p,q(Id) においてシュアウトェル基底をなすことを証明し、1979 年以来未解決であった最後の未解決ケースを解消する。この結果により、0 < p ≤ 1 の全パラメータ範囲におけるハール基底性の特徴付けが完全化される。

ABSTRACT

We show that the d-dimensional Haar system H^d on the unit cube I^d is a Schauder basis in the classical Besov space B_{p,q,1}^s(I^d), 0<p<1, defined by first order differences in the limiting case s=d(1/p-1), if and only if 0<q\le p. For d=1 and p<q, this settles the only open case in our 1979 paper [4], where the Schauder basis property of H in B_{p,q,1}^s(I) for 0<p<1 was left undecided. We also consider the Schauder basis property of H^d for the standard Besov spaces B_{p,q}^s(I^d) defined by Fourier-analytic methods in the limiting cases s=d(1/p-1) and s=1, complementing results by Triebel [7].

研究の動機と目的

• 0 < p < 1 および p < q < ∞ のとき、臨界パラメータ s = d(1/p − 1) において、d 次元ハール系がベソフ空間 Bs_p,q,1(Id) においてシュアウトェル基底であるかどうかという未解決問題を解消すること。
• 0 < p ≤ 1 の全範囲において、差分に基づくおよびフーリエ解析的ベソフ空間におけるハール系のシュアウトェル基底性の特徴付けを完全化すること。
• s = d(1/p − 1) および s = 1 の極限ケースにおいて、ハール系がベソフ空間 Bs_p,q(Id) で基底をなすかどうかを解消し、これまでの結果に空きが生じていた部分を埋めること。
• 原子的分解および局所平均の技法を用いて、一変数から多変数設定（特に d > 1）にこれまでの結果を拡張すること。

提案手法

• ベソフ空間内の関数の原子的分解を用いて、ハール係数および部分和作用素の振る舞いを分析する。
• 滑らかなカーネルを用いたベソフノルムの局所平均による特徴付けを適用し、部分射影の準ノルムを制御する。
• dyadic 分解およびカーネルのモーメント条件を用いて、局所平均作用素の Lp 準ノルムを推定する。
• 関数とその dyadic 投影との差の Lp ノルムを制御することで、部分和作用素の一様有界性を確立する。
• 参考文献 [4] に含まれる一変数の反例を多変数へと適応し、臨界パrameter 範囲における有界性の失敗および係数関数の拡張の不可能性を示す。
• 差分に基づくおよびフーリエ解析的ベソフノルムの間の比較を用いて、d/(d+1) < p ≤ 1 の範囲で両者の等価性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 s = d(1/p − 1) かつ 0 < p < 1、0 < q ≤ p のとき、d 次元ハール系は Bs_p,q,1(Id) においてシュアウトェル基底をなすか？
• RQ2 s = d(1/p − 1) かつ q > p のとき、Bs_p,q,1(Id) におけるハール系のシュアウトェル基底性はどうなるか？
• RQ3 s = d(1/p − 1) かつ d/(d+1) < p < 1、0 < q ≤ p のとき、標準的ベソフ空間 Bs_p,q(Id) におけるハール系はシュアウトェル基底をなすか？
• RQ4 s = 1 かつ d/(d+1) ≤ p < 1、0 < q < ∞ のとき、なぜハール展開は Bs_p,q(Id) で収束しないのか？
• RQ5 s = d(1/p − 1) かつ q > 1 のとき、ハール展開の係数関数は Bs_p,q(Id) 上の有界線形関数へと拡張可能か？

主な発見

• d ≥ 1 および d/(d+1) < p < 1 のとき、d 次元ハール系は Bs_p,q,1(Id) において、s = d(1/p − 1) かつ 0 < q ≤ p である場合に限りシュアウトェル基底をなす。
• s = d(1/p − 1) かつ p < q ≤ 1 のとき、ハール展開の部分和作用素は Bs_p,q,1(Id) 上で一様有界でないため、基底性の失敗が示される。
• s = d(1/p − 1) かつ 1 < q < ∞ のとき、ハール系のスパン上の係数関数は Bs_p,q,1(Id) 上の有界線形関数へと拡張できないため、系はシュアウトェル基底でない。
• s = 1 かつ d/(d+1) ≤ p < 1、0 < q < ∞ のとき、f(x) = x1 + ... + xd の展開の発散によって、Bs_p,q(Id) におけるハール系のシュアウトェル基底性の失敗が示される。
• 標準的ベソフ空間 Bs_p,q(Id) において、d/(d+1) < p < 1 かつ 0 < q ≤ p のとき、s = d(1/p − 1) でハール系はシュアウトェル基底をなす。これは特徴付けを完全化する。
• 結果は全空間 Rd に拡張可能であり、p、q、s に同じ条件が適用され、ハール系は同じパrameter 条件下でシュアウトェル基底のままである。