[論文レビュー] Hadamard Products and Tilings

Jong‐Hyun Kim|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2009

graph theory and CDMA systems参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、タイリングモデルを用いた組み合わせ的アプローチにより、有理型母関数のハダマード積に対する明示的公式を導出する。特に、$\frac{1}{1-ax-x^2} \ast \frac{x^m}{1-bx-x^n}$ の形の式に対して、$2\times n$ の長方形の重み付きタイリングとしてハダマード積をモデル化し、タイリングを素因数ブロックに分解することで、閉形式の有理型母関数を導出する。この手法により、シャピロの以前のチェビシェフ多項式に関する結果を一般化し、非対称なタイリング制約へと拡張する。

ABSTRACT

Louis W. Shapiro gave a combinatorial proof of a bilinear generating function for Chebyshev polynomials equivalent to the formula 1/(1-ax-x^2) * 1/(1-bx-x^2) = (1-x^2)/(1-abx-(2+a^2+b^2)x^2 -abx^3+x^4), where * denotes the Hadamard product. In a similar way, by considering tilings of a 2 by n rectangle with 1 by 1 and 1 by 2 bricks in the top row, and 1 by 1 and 1 by n bricks in the bottom row, we find an explicit formula for the Hadamard product 1/(1-ax-x^2) * x^m/(1-bx-x^n).

研究の動機と目的

• シャピロのチェビシェフ多項式の二重生成関数に関する組み合わせ的証明を、非対称なタイリング設定へ拡張すること。
• タイリング分解を用いて、ハダマード積$\frac{1}{1-ax-x^2} \ast \frac{x^m}{1-bx-x^n}$ の明示的有理型母関数を導出すること。
• マクマホン作用素とハダマード積の枠組みを、非一様なタイリング制約を持つ有理型関数へ一般化すること。
• ハンのアイデンティティなどの既知の結果を、新しいタイリングに基づく形式的枠組みから再導出すること。

提案手法

• ハダマード積を、上段に$1\times1$および$1\times2$タイル（重み$ a $）を、下段に$1\times1$および$1\times n$タイル（重み$ b $）を用いた$2\times n$長方形の重み付きタイリングのペアとしてモデル化する。
• 分解不能なタイリング単位としての素因数ブロックを定義し、その生成関数$P_n(x)$を計算することで、タイリング系の再帰的構造を表現する。
• ローレント級数から非負の次数項を抽出するマクマホン作用素$\Omega_{\geq}$を用い、タイリング分解から生成関数を導出可能にする。
• 最初のブロック（初期タイリングセグメント）とその後続の素因数ブロックを別々に分類し、$Q_{m,n}(x)/(1 - P_n(x))$ の形で有理型生成関数を表現する。
• 補題2.1の恒等式を用い、フィボナッチ型多項式の関係式：$f_{m-1}(a)f_{n-1}(a) - f_m(a)f_{n-2}(a) = (-1)^{\min(m-1,n-1)} f_{|m-n+1|-1}(a)$ を適用し、生成関数の係数を簡略化する。
• タイリングが素因数ブロックの列に一意に分解されることを用い、ハダマード積の最終的な有理型形を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、組み合わせ的タイリングモデルを用いてハダマード積$\frac{1}{1-ax-x^2} \ast \frac{x^m}{1-bx-x^n}$ を明示的に計算できるか？
• RQ2 上段が$1\times m$のブロックで始まり、下段が$1\times n$ブロックを使用するタイリング系において、重み付き最初のブロックの生成関数は何か？
• RQ3 素因数ブロックと最初のブロックへのタイリング分解が、ハダマール積の有理型閉形式表現にどのように寄与するか？
• RQ4 ハンのアイデンティティ（$\Omega_{\geq}$を含む）は、このタイリングに基づく形式的枠組みから再現可能か？
• RQ5 $b=0$のとき、下段が$1\times1$タイルのみに還元される場合、生成関数の構造はどのようなものか？

主な発見

• ハダマール積$\frac{1}{1-ax-x^2} \ast \frac{x^m}{1-bx-x^n}$ は、$m \geq 1$、$n \geq 2$ のとき、$\frac{f_m(a)x^m + b f_{m-1}(a)x^{m+1} + (-1)^{\min(m-1,n-1)} f_{|m-n+1|-1}(a) x^{m+n}}{1 - f_{n-2}(a)x^n}$ で与えられ、分母は$1 - f_{n-2}(a)x^n$ に修正される。
• $b=0$のとき、式は$\sum_{k \geq 0} f_{m+nk}(a) x^{m+nk} = \frac{f_m(a)x^m + (-1)^{\min(m-1,n-1)} f_{|m-n+1|-1}(a) x^{m+n}}{1 - (f_n(a) + f_{n-2}(a))x^n + (-1)^n x^{2n}}$ に簡略化され、フィボナッチ型係数の等差数列に対する有理型生成関数が得られる。
• $m = qn + r$（$0 < r < n$）のとき、ハダマール積$\frac{x^m}{1-ax-x^2} \ast \frac{1}{1-x^n}$ は$\frac{f_{n-r}(a)x^{(q+1)n} + (-1)^{n-r-1} f_{|r-1|-1}(a) x^{(q+2)n}}{1 - (f_n(a) + f_{n-2}(a))x^n + (-1)^n x^{2n}}$ で与えられ、$m = qn$ の場合については別個のケースを考慮する。
• タイリングモデルにおける最初のブロックの生成関数は有理型であり、素因数ブロック分解に基づく再帰的構造から導出可能であり、これによりハダマール積全体が有理関数として表現可能となる。
• 本手法により、ハンのアイデンティティ$\Omega_{\geq} \frac{1}{(1-zx-zx^2)(1-y/x-y/x^2)} = \frac{1+z^2y}{(1-2z)(1-3zy-z^2y-zy^2)}$ が、$1/(1-ax-x^2) \ast 1/(1-bx-x^3)$ の導出式から再現される。
• 本稿は、有理型母関数のハダマール積が最初のブロックと素因数ブロックの列を持つタイリング系に対応することを一般化し、$Q_{m,n}(x)/(1 - P_n(x))$ の形で有理型生成関数が得られることを確立する枠組みを構築する。