[論文レビュー] Hahn decomposition and Radon-Nikodym theorem with a parameter

D. Novikov|ArXiv.org|Jan 14, 2005

Advanced Algebra and Logic被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、パラメータに依存するハーン分解を用いて、パラメータを伴うラドン＝ニコディム定理の構成的で測度可能な証明を提供する。各測度が基準測度に関して絶対連続であり、かつパラメータに関して可測であるならば、ラドン＝ニコディム微分の jointly measurable なバージョンが存在することを示す。

ABSTRACT

The paper contains a simple proof of the classical Hahn decomposition theorem for charges and, as a corollary, an explicit measurable in parameter construction of a Radon-Nikodym derivative of one measure by another.

研究の動機と目的

• パラメータを伴うラドン＝ニコディム定理の構成的かつ可測な証明を提供すること。
• 測度がパラメータに関して可測に依存する場合に、ラドン＝ニコディム微分の同時可測なバージョンの存在を確立すること。
• E.B. ダインキンが提起した、パラメトリック測度族におけるラドン＝ニコディム微分の可測性に関する問題を解決すること。
• 古典的ハーン分解定理をパラメータ化された測度に一般化し、微分の可測なレベル集合を構成すること。
• 得られた微分がパラメータ空間と標本空間の積σ代数に関して可測であることを保証すること。

提案手法

• 変動が制御された集合列 $E_k$ を用いて、パラメータ依存測度 $\mathcal{P}(\mu, \cdot) - r\mathcal{P}(\cdot)$ のハーン分解を構成する。
• 集合 $X_m = \bigcap_{k \geq m} E_k$ を定義し、$X_- = \bigcup_m X_m$ を設定することで、各 $\mu$ に対してハーン分解を形成する。
• 可測関数とそのレベル集合 $S_r = \{f \leq r\}$ の対応関係を用いて、ラドン＝ニコディム微分 $f$ を可測族 $S_r$ で特徴付ける。
• レベル集合 $S_r$ を、$r' \leq r$ である各 $X^{r'}_-$ の和集合と残渣集合 $S_0$ の和として構成し、単調性と完全性を保証する。
• 定義に用いる集合 $A_{N,k}$ がパラメータ空間で可測であることを示すことにより、$S_r$ が $\mathfrak{M} \times \mathfrak{M}$ で可測であることを証明する。
• 単純関数による近似と測度比較を用いて、構成された $f$ がラドン＝ニコディム微分の定義的性質を満たすことを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測度がパラメータに依存する場合に、ラドン＝ニコディム微分の同時可測なバージョンを明示的に構成することは可能か？
• RQ2 ラドン＝ニコディム微分のレベル集合が、空間 $\mathcal{M} \times \mathcal{M}$ で可測であることを保証することは可能か？
• RQ3 古典的ハーン分解をどのようにパラメータ化された測度に適応させれば、可測な分解が得られるか？
• RQ4 パラメータ依存測度にどのような条件下で、ラドン＝ニコディム微分が積σ代数に関して可測になるか？
• RQ5 抽象的選択定理に依存せずに、構成的測度論的議論を用いて微分の可測性を確立することは可能か？

主な発見

• パラメータ依存測度 $\mathcal{P}(\mu, \cdot) - r\mathcal{P}(\cdot)$ に対して、ネストされた集合 $X_m = \bigcap_{k \geq m} E_k$ を用いた構成的で可測なハーン分解が確立された。
• 得られた集合 $S_r$ は、$r < r'$ ならば $S_r \subset S_{r'}$ であり、$\bigcup_r S_r = \mathcal{M} \times \mathcal{M}$ を満たす可測族を形成し、同時に可測性が保証された。
• 関数 $f(\mu, \nu) = \inf\{r : (\mu, \nu) \in S_r\}$ は、$\mathfrak{M} \times \mathfrak{M}$-可測なラドン＝ニコディム微分 $\frac{\mathcal{P}(\mu, d\nu)}{\mathcal{P}(d\nu)}$ のバージョンである。
• この構成により、すべての $A \in \mathfrak{M}$ に対して $\mathcal{P}(\mu, A) = \int_A f(\mu, \nu) \mathcal{P}(d\nu)$ が成り立ち、微分の性質が確認された。
• 測度 $\mu_x, \lambda_x$ の一般な族に対して、測度が $x$ に関して可測であり、空間に可算な生成代数が存在する限り、この手法は適用可能である。
• パラメータ空間がルジン可測空間であり、測度が可算な生成代数を備えるという仮定の下で、微分の同時可測性が保たれる。