[論文レビュー] Hahn Field Representation of A. Robinson's Asymptotic Numbers

Todor Todorov, Robert Wolf|ArXiv.org|Jan 30, 2006

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 14被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、A.ロビンソンの漸近的数の体 $^\rho\mathbb{R}$ とハーン体 $\widehat{{}^\rho\mathbb{R}}(t^\mathbb{R})$ の間の同型を確立し、非標準拡張 ${}^*\mathbb{R}$ が完全に飽和されている場合、剰余体 $\widehat{{}^\rho\mathbb{R}}$ が ${}^*\mathbb{R}$ に同型であることを示している。これにより、$^\rho\mathbb{R}$ は ${}^*\mathbb{R}$ のコピーを含むことが示され、異なるスケールに対応するすべての漸近的数体が同型であることが示唆される。これは非線形一般化関数論への応用において重要な結果である。

ABSTRACT

Let $^*\mathbb{R}$ be a nonstandard extension of $\mathbb{R}$ and $ρ$ be a positive infinitesimal in $^*\mathbb{R}$. We show how to create a variety of isomorphisms between A. Robinson's field of asymptotic numbers $^ρ\mathbb{R}$ and the Hahn field $\hat{^ρ\mathbb{R}}(t^\mathbb{R})$, where $\hat{^ρ\mathbb{R}}$ is the residue class field of $^ρ\mathbb{R}$. Then, assuming that $^*\mathbb{R}$ is fully saturated we show that $\hat{^ρ\mathbb{R}}$ is isomorphic to $^*\mathbb{R}$ and so $^ρ\mathbb{R}$ contains a copy of $^*\mathbb{R}$. As a consequence (that is important for applications in non-linear theory of generalized functions) we show that every two fields of asymptotic numbers corresponding to different scales are isomorphic.

研究の動機と目的

• A.ロビンソンの漸近的数の体 $^\rho\mathbb{R}$ 及びその剰余体 $\widehat{{}^\rho\mathbb{R}}$ の構造的性質を調査すること。
• 非標準解析的手法を用いて、$^\rho\mathbb{R}$ とハーン体 $\widehat{{}^\rho\mathbb{R}}(t^\mathbb{R})$ の間の同型を確立すること。
• ${}^*\mathbb{R}$ が完全に飽和されている場合、剰余体 $\widehat{{}^\rho\mathbb{R}}$ が ${}^*\mathbb{R}$ に同型であることを示し、非標準的実数体を漸近的数の体系内に埋め込むこと。
• 異なるスケールに対応する漸近的数体がすべて同型であることを示し、非線形一般化関数論への応用において極めて重要であることを明らかにすること。

提案手法

• 値の理論的技法を用いて、$^\rho\mathbb{R}$ とハーン体 $\widehat{{}^\rho\mathbb{R}}(t^\mathbb{R})$ の間の同型を構成すること。
• 完全に飽和された非標準拡張 ${}^*\mathbb{R}$ を用いることで、飽和性や初等同値性といった強力なモデル理論的性質を保証すること。
• ${}^\rho\mathbb{R}$ 内の無限小のイデアルによる有限元の環の商として、剰余体 $\widehat{{}^\rho\mathbb{R}}$ を定義すること。
• ${}^*\mathbb{R}$ に対して、特殊化鎖 $\{\mathcal{A}_\kappa : \kappa < \mu\}$ を導入し、$\widehat{{}^\rho\mathbb{R}}$ 及びその部分体の構造を分析すること。
• $\mathcal{B}_\kappa = D_\kappa / K_\kappa$ が $\widehat{{}^\rho\mathbb{R}}$ の特殊化鎖をなすことを証明し、その特殊性と飽和性を保証すること。
• モデル理論的転送原理を用いて、完全に飽和された状態において、${}^*\mathbb{R}$ と $\widehat{{}^\rho\mathbb{R}}$ の初等同値性および同型性を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $^\rho\mathbb{R}$ はその剰余体 $\widehat{{}^\rho\mathbb{R}}$ 上のハーン体として表現可能か？
• RQ2 $\widehat{{}^\rho\mathbb{R}}$ が ${}^*\mathbb{R}$ に同型であるのはどのような条件下か？
• RQ3 正の無限小 $\rho$ の選択に依存せず、$^\rho\mathbb{R}$ とハーン体 $\widehat{{}^\rho\mathbb{R}}(t^\mathbb{R})$ の間の同型が成立するか？
• RQ4 異なるスケール $\rho$ に対応する漸近的数体 $^\rho\mathbb{R}$ 全てが同型であるか？
• RQ5 ${}^*\mathbb{R}$ の完全に飽和されていないモデルへも結果を拡張可能か？

主な発見

• ${}^*\mathbb{R}$ が完全に飽和されている場合、剰余体 $\widehat{{}^\rho\mathbb{R}}$ は ${}^*\mathbb{R}$ に同型であり、非標準的実数体が漸近的数系に埋め込まれることが示された。
• すべての漸近的数体 $^\rho\mathbb{R}$ は $\widehat{{}^\rho\mathbb{R}}(t^\mathbb{R})$ に同型であり、標準的なハーン体表現が確立された。
• 正の無限小 $\rho$ の選択に依存せず、$^\rho\mathbb{R}$ とハーン体 $\widehat{{}^\rho\mathbb{R}}(t^\mathbb{R})$ の間の同型が成立する。
• 異なるスケールに対応する漸近的数体がすべて同型であることは、一般化関数論の理論において根本的に重要な結果である。
• ${}^*\mathbb{R}$ が完全に飽和されていなくても、剰余体 $\widehat{{}^\rho\mathbb{R}}$ は依然として ${}^*\mathbb{R}$ に同型であり、同型関係の結果は依然有効である。
• $\widehat{{}^\rho\mathbb{R}}$ の濃度は ${}^*\mathbb{R}$ と等しく、両構造は初等同値であるため、強力なモデル理論的整合性が保証される。