[論文レビュー] Hall monoidal categories and categorical modules

Tashi Walde|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 4被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、2-セガール条件を満たす単体的グルーピッド——特にワルドハイムのS-構成を用いて——Hallモノイダル圏およびそのモジュールを導入し、古典的Hall代数およびヘッケ代数のカテゴリフィケーションを提示する。また、複素数表現の間のモノイダル同値を$G\wr S_n$と$G$-可換多項式関手の間で確立し、ワルドハイム積の一般化されたシュール＝ウェイル双対性を証明する。

ABSTRACT

We construct so called Hall monoidal categories (and Hall modules thereover) and exhibit them as a categorification of classical Hall and Hecke algebras (and certain modules thereover). The input of the (functorial!) construction are simplicial groupoids satisfying the $2$-Segal conditions (as introduced by Dyckerhoff and Kapranov), the main examples come from Waldhausen's S-construction. To treat the case of modules, we introduce a relative version of the $2$-Segal conditions. Furthermore, we generalize a classical result about the representation theory of symmetric groups to the case of wreath product groups: We construct a monoidal equivalence between the category of complex $G\wr S_n$-representations (for a fixed finite group $G$ and varying $n\in\mathbb N$) and the category of "$G$-equivariant" polynomial functors; we use this equivalence to prove a version of Schur-Weyl duality for wreath products.

研究の動機と目的

• 高次カテゴリカル構造を用いたHall代数およびヘッケ代数のカテゴリフィケーションの開発。
• 関手的構成を用いてHallモノイダル圏およびそのモジュールの定義。
• ワルドハイム積群$G\wr S_n$に対する古典的シュール＝ウェイル双対性の一般化。
• Hallモノイダル圏上のモジュールをカテゴリカルに扱うために、2-セガール条件の相対的バージョンの導入。
• $G\wr S_n$-表現と$G$-可換多項式関手の間のモノイダル同値の確立。

提案手法

• 2-セガール条件を満たす単体的グルーピッドを、Hallモノイダル圏を構成するための入力として用いる。
• ワルドハイムのS-構成を主な例として、関手的Hall代数の構成を適用する。
• Hallモノイダル圏上のモジュールを形式化するために、2-セガール条件の相対的バージョンを導入する。
• $G\wr S_n$-表現と多項式関手の関係を明らかにするために、カテゴリカル表現論を用いる。
• $G$-可換多項式関手の構造を用いてモノイダル同値を導出する。
• 理論を適用して、ワルドハイム積に関してシュール＝ウェイル双対性のバージョンを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして高次カテゴリカル構造を用いてHall代数およびそのモジュールをカテゴリフィケーションできるか？
• RQ2 単体的グルーピッドにどのような条件を課すとHallモノイダル圏が構成可能か？
• RQ3 ワルドハイム積群$G\wr S_n$に対して、一般化されたシュール＝ウェイル双対性を確立できるか？
• RQ4 $G$-可換多項式関手は、ワルドハイム積の表現論において果たす役割は何か？
• RQ5 相対的2-セガール条件は、Hallモジュール理論をどのように拡張するか？

主な発見

• 複素数表現の圏$G\wr S_n$と$G$-可換多項式関手の圏との間でモノイダル同値が構成された。
• 2-セガール単体的グルーピッドを用いた、古典的Hall代数およびヘッケ代数のカテゴリフィケーションが提供された。
• Hallモノイダル圏上のモジュールの概念を形式化するために、相対的2-セガール条件が導入された。
• モノイダル同値を通じて、ワルドハイム積群に関してシュール＝ウェイル双対性のバージョンが証明された。
• 理論はワルドハイムのS-構成に基づいており、抽象的構成の具体的実現を提供した。
• 結果は、対称群に関する古典的表現論的結果をワルドハイム積へ一般化した。