[論文レビュー] Hamilton-Green solver for the forward and adjoint problems in photoacoustic tomography

Francesc Rul⋅lan, Marta M. Betcke|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2018

Photoacoustic and Ultrasonic Imaging参考文献 69被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、光声トモグラフィー（PAT）における前方および随伴波方程式を解くための高周波近似法として、ハミルトニアン光線軌道に沿ってグリーン関数を近似するハンチントン・グリーン（HG）スケーラーを提案する。この手法により、フル波動場ソルバーと比較して顕著な高速化が達成され、センサ依存性のない効率的な計算が可能となり、曲率や音速の不均一性を伴う2次元非均質媒体においてk-Waveシミュレーションと一致する高い精度を示す。

ABSTRACT

The majority of the solvers for the acoustic problem in Photoacoustic Tomography (PAT) rely on full solution of the wave equation which makes them less suitable for real-time and dynamic applications where only partial data is available. This is in contrast to other tomographic modalities, e.g. X-ray tomography, where partial data implies partial cost for the application of the forward and adjoint operators. In this work we present a novel solver for the forward and adjoint wave equations for the acoustic problem in PAT. We term the proposed solver Hamilton-Green as it approximates the fundamental solution to the respective wave equation along the trajectories of the Hamiltonian system resulting from the high frequency asymptotics for the wave equation. This approach is fast and scalable in the sense that it allows computing the solution for each sensor independently at a fraction of the cost of the full wave solution. The theoretical foundations of our approach are rooted in results available in seismics and ocean acoustics. We present results for 2D numerical phantom with heterogeneous sound speed which we evaluate against a full wave solution obtained with a pseudospectral method implemented in k-Wave toolbox.

研究の動機と目的

• フル波動場ソルバーの計算効率の低さ、特に部分的またはスパースなデータを伴うリアルタイムおよび動的応用において問題となる点を解消すること。
• フル波動場の計算を回避する、スケーラブルでセンサに依存しない前方および随伴波方程式のソルバーを構築すること。
• 光線追跡とハミルトニアン力学に基づく高周波近似を用いて、PATにおける音響問題を正確に解くこと。
• 標準的な光線法が振幅の発散により失敗する、曲率や集光レンズを含む非均質媒質における困難な特徴を扱えること。
• 反復的再構成および変分法に応用可能な、数値的に安定で効率的なフル波動場ソルバーの代替手段を提供すること。

提案手法

• ハンチントン・グリーンスケーラーは、高周波近似解のハミルトニアン系から導かれる軌道に沿って光線を追跡することで、波動方程式の基本解を近似する。
• 光線マップのヤコビアン行列式の行列式を用いて、光線振幅を調節したグリーン関数を計算し、曲率における特異点を回避するための正則化を施す。
• 随伴問題では、時間反転源を用い、センサデータを光線を介して逆方向に発展させることで初期圧力分布を再構成する。
• 積分の時間窓を制限する滑らかなカットオフ関数を導入し、実世界の測定制約と整合性を保つ。
• 曲率領域では、光線管の行列式 |q(t; x₀)| < ε となる場合に光線振幅を0に設定し、座標系の反転を補償するため、|q|の絶対値を用いる。
• 2次元で実装され、1センサあたりの光線数を固定することで、各センサの計算が独立し、スケーラビリティが実現される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 光線追跡に基づく高周波近似法は、非均質媒質においても前方および随伴波方程式の正確で効率的な解を得られるか？
• RQ2 光線振幅が発散する曲率領域において、ハンチントン・グリーンスケーラーは標準的光線法が失敗する状況でも性能を発揮するか？
• RQ3 限られた視野や動的PAT状況において、k-Waveのようなフル波動場ソルバーと比較して、計算コストをどの程度低減できるか？
• RQ4 曲率領域における光線振幅の正則化は、センサでの再構成圧力信号の精度にどのように影響するか？
• RQ5 各センサごとの独立計算と正確な随伴マッピングを備える本手法は、反復的再構成フレームワークに効果的に応用可能か？

主な発見

• ハンチントン・グリーンスケーラーは、音速の不均一性および集光レンズによって光線が収束し曲率を形成する2次元領域において、正確な前方および随伴解を達成する。
• 曲率の手前側に初期圧力が存在する場合、HGスケーラーはk-Wave解と非常に近い一致を示し、最小限の誤差を示す。
• 最大の誤差は、曲率上に初期圧力が存在する場合に発生し、|q(t; x₀)| < ε の条件下で振幅を0に正則化することで位相の連続性が損なわれるためである。
• 曲率の後方では誤差は減少するが、依然として残存しており、これは曲率形成に伴う複雑な位相シフト exp(−im(t)π/2) を完全に反映していないためである。
• 本手法は光線の集光およびレンズ周囲の屈曲を効果的に処理でき、外側の光線は曲率の影響を受けず、振幅正則化により数値的安定性を維持する。
• フル波動場ソルバーと比較して顕著な計算上の利点を示し、コストの一部で済む各センサごとの独立計算を可能にする。