[論文レビュー] Hamilton--Jacobi's equation and Arnold's diffusion near invariant tori in a priori unstable isochronous systems

Giovanni Gallavotti|ArXiv.org|Oct 23, 1997

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ハミルトニアン系におけるアーノルド拡散を、a priori 非安定な等時的ハミルトニアン系を用いてハミルトニアン＝ジャコビ理論を用いて調査し、共鳴構造のおかげで不変トーラスの近くで拡散が発生することを示している。強制振り子モデルを分析することで、共鳴遷移を通じたグローバル不安定性のメカニズムを確立し、ほぼ可積分系におけるカオス的輸送を理解するための厳密な枠組みを提供する。

ABSTRACT

Local integrability of hyperbolic oscillators is discussed to provide an introductory example of the Arnold's diffusion phenomenon in a forced pendulum. This is a text prepared for the the ISI summer school of June 1997 and deals with developments of the topics treated in the lectures.

研究の動機と目的

• a priori 非安定な等時的系におけるアーノルド拡散のメカニズムを、ハミルトニアン＝ジャコビ理論を用いて分析すること。
• 強制振り子の例を通じて、アーノルド拡散の教育的導入を行うこと。
• 共鳴構造が不変トーラスの近くでグローバル不安定性と拡散を引き起こす条件を確立すること。
• 双曲的振動子の局所的可積分性と、ほぼ可積分系におけるカオス的ダイナミクスの発生との関係を結ぶこと。

提案手法

• 強制振り子をモデル系として用い、ハミルトニアン＝ジャコビ方程式を用いてその力学を記述する。
• a priori 非安定系の文脈において、不変トーラスの構造とその安定性を分析する。
• 摂動論を用いて、双曲的固定点の近くにおける共鳴相互作用を研究する。
• KAMトーラスの破壊に起因する拡散が発生する共鳴領域を同定する。
• 双曲的振動子の局所的可積分性を出発点として、拡散メカニズムを導出する。
• 共鳴の幾何構造と位相空間内での拡散チャネルの存在との関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 a priori 非安定な等時的ハミルトニアン系において、アーノルド拡散はどのように発生するか？
• RQ2 このような系において、不変トーラスは拡散を媒介するか、あるいは遮断するか、果たす役割は何か？
• RQ3 ハミルトニアン＝ジャコビ理論は、共鳴付近での規則的ダイナミクスからカオス的ダイナミクスへの遷移をどのように記述できるか？
• RQ4 ほぼ可積分系において、共鳴構造がグローバル不安定性を引き起こす条件は何か？
• RQ5 強制振り子モデルは、取り扱いやすい設定で、アーノルド拡散のメカニズムをどのように示すか？

主な発見

• a priori 非安定な等時的系では、不変トーラスの近くにおける共鳴相互作用のおかげでアーノルド拡散が発生する。
• 強制振り子モデルは、位相空間内での共鳴遷移によって駆動される拡散が発生する、具体的な例である。
• 双曲的振動子の局所的可積分性が、拡散メカニズムの構築の基盤を提供する。
• 共鳴領域は、位相空間内でのカオス的輸送の主な経路として特定される。
• ハミルトニアン＝ジャコビ形式は、不変トーラスの近くでの拡散プロセスを厳密に記述可能である。
• 解析により、弱い摂動が存在する系でさえも拡散チャネルの存在を確認し、グローバル不安定性の理論的枠組みを裏付けた。