[論文レビュー] Hamilton-Pontryagin Integrators on Lie Groups: Introduction and Structure-Preserving Properties

Nawaf Bou‐Rabee, Jerrold E. Marsden|ArXiv.org|Jan 7, 2008

Numerical methods for differential equations参考文献 39被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、Runge-Kutta-Milstein-Kaas (RKMK) 法を用いてハミルトン＝ポントリャーギンの変分原理を離散化することにより、リー群上におけるバリエーショナル分割ルンゲ＝クッタ（VPRK）積分法の新規クラスを導入する。この手法は、シンプレクティック・オイラーおよびストルマー＝ヴェルレ積分法をリー群へ一般化し、運動量写像とシンプレクティック構造を保存する。エネルギー保存または運動量保存手法と比較して、長期的な安定性および精度に優れている。

ABSTRACT

In this paper structure-preserving time-integrators for rigid body-type mechanical systems are derived from a discrete Hamilton-Pontryagin variational principle. From this principle one can derive a novel class of variational partitioned Runge-Kutta methods on Lie groups. Included among these integrators are generalizations of symplectic Euler and Störmer-Verlet integrators from flat spaces to Lie groups. Because of their variational design, these integrators preserve a discrete momentum map (in the presence of symmetry) and a symplectic form. In a companion paper, we perform a numerical analysis of these methods and report on numerical experiments on the rigid body and chaotic dynamics of an underwater vehicle. The numerics reveal that these variational integrators possess structure-preserving properties that methods designed to preserve momentum (using the coadjoint action of the Lie group) and energy (for example, by projection) lack.

研究の動機と目的

• リー群上での機械的系に適した幾何的性質を保証する構造保存型時間積分法の開発。
• 非平坦な配置空間における運動制約の変分原理による離散化の課題への対処。
• 平坦空間からリー群へとシンプレクティックおよび変分積分法（例：ストルマー＝ヴェルレ、シンプレクティック・オイラー）を一般化すること。
• 変分的設計により、対称性下での運動量写像とシンプレクティック構造の保存を保証すること。
• 剛体および水中航行機器に関する数値解析と実験の基盤を第II部で提供すること。

提案手法

• 左自明化されたハミルトン＝ポントリャーギン作用原理をリー群上に定式化し、左不変ラグランジアンの下で、オイラー＝ピオンカーディアンおよびリー＝ポワンスィヨン力学を統合する。
• 群値軌道を扱うために、s段のルンゲ＝クッタ＝ムンテ＝カース（RKMK）法を用いて運動制約を離散化する。
• ブッチャー図の係数を用いて重み付きラグランジアンと運動量ペアリングされた運動制約を組み合わせた離散的作用和を構築する。
• 得られた変分的分割ルンゲ＝クッタ（VPRK）積分法を、離散オイラー＝ラグランジュ方程式の解として導出する。
• 随伴表現および共随伴作用を用いて運動量写像の進化を表現し、保存性を検証する。
• 群への属性を維持するため、パデ近似および射影子（例：SO(n)への反対称化）を実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハミルトン＝ポントリャーギンの変分原理を一般化し、リー群上での構造保存型積分法を構築できるか？
• RQ2 リー群上の運動制約をルンゲ＝クッタ法で離散化する際、幾何的構造をどのように保存できるか？
• RQ3 得られるVPRK積分法はシンプレクティック性と運動量写像を保存するか？また、標準的なエネルギー保存または運動量保存手法と比較して優れているか？
• RQ4 これらの積分法の精度の順序は何か？また、それらは元の変分構造とどのように関係しているか？
• RQ5 非可逆系（例：回転台の上にある剛体）において、これらの積分法は対称的積分法と比較してどのように性能を発揮するか？

主な発見

• 提案されたVPRK積分法は、対称性下でシンプレクティック形式と運動量写像の両方を保存し、長期的な安定性を確保する。
• この手法は、群の接バンドル上での変分的定式化により、シンプレクティック・オイラーおよびストルマー＝ヴェルレ積分法をリー群へ一般化する。
• 離散的作用和は、ブッチャー図の係数と再構成方程式のRKMK離散化を用いて構築される。
• 運動量写像の進化は、離散版のリー＝ポワンスィヨン括弧として導出され、随伴作用を用いて保存性が検証される。
• 変分的精度の証明（Marsden & West, 2001）により、2次精度であることが示された。
• 第II部における数値実験では、カオス的ダイナミクスおよび非可逆系において、エネルギー保存または運動量保存手法よりも優れた性能を示した。