[論文レビュー] Hamilton-Pontryagin Integrators on Lie Groups Part I: Introduction & Structure-Preserving Properties

Nawaf Bou‐Rabee, Jerrold E. Marsden|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2013

Numerical methods for differential equations参考文献 33被引用数 9

ひとこと要約

本論文は、Lie群上での剛体系に適した離散ハミルトニアン＝ポントレヤーギン変分原理を用いて、新しいクラスの保存的変分積分法を導入する。これらの幾何構造を保存する積分法は、離散的運動量写像とシンプレクティック形式の両方を保存し、剛体および水中車両の数値実験においてエネルギー保存または運動量保存の手法を上回る性能を示す。

ABSTRACT

In this paper structure-preserving time-integrators for rigid body-type mechanical systems are derived from a discrete Hamilton-Pontryagin variational principle. From this principle one can derive a novel class of variational partitioned Runge-Kutta methods on Lie groups. Included among these integrators are generalizations of symplectic Euler and Stormer-Verlet integrators from flat spaces to Lie groups. Because of their variational design, these integrators preserve a discrete momentum map (in the presence of symmetry) and a symplectic form. In a companion paper, we perform a numerical analysis of these methods and report on numerical experiments on the rigid body and chaotic dynamics of an underwater vehicle. The numerics reveal that these variational integrators possess structure-preserving properties that methods designed to preserve momentum (using the coadjoint action of the Lie group) and energy (for example, by projection) lack.

研究の動機と目的

• Lie群上での機械的系、特に剛体力学のための幾何構造を保存する時間積分法の開発。
• 運動量またはエネルギーを別々に保存する既存手法の限界を克服し、両方の幾何的構造を同時に維持できるようにすること。
• 離散ハミルトニアン＝ポントレヤーギン変分原理から積分法を導出し、内在的な幾何的整合性を保証すること。
• 非平坦で曲がった配置空間に一般化されたシンプレクティック・オイラーおよびストルマー＝ヴェルレ法に類似した変分積分法の理論的基盤を構築すること。

提案手法

• Lie群上に定式化された離散ハミルトニアン＝ポントレヤーギン変分原理を用いて時間積分法を導出する。
• 群構造と系の幾何的性質を尊重する、新しいクラスの変分分割ルンゲ＝クッタ法を構築する。
• Lie群の共軛作用における変分原理の対称性を活用し、離散的運動量写像の保存を保証する。
• 変分定式化を活用して、離散的設定でもシンプレクティック構造が構成上保たれることを保証する。
• 変分フレームワークを用いて、古典的積分法（シンプレクティック・オイラーおよびストルマー＝ヴェルレ法）を曲がった配置空間へ一般化する。
• 離散的変分原理を用いて、Lie群上での力学に整合する更新則を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Lie群上での変分積分法は、従来の手法とは異なり、運動量とシンプレクティック構造を同時に保存できるか？
• RQ2 長期シミュレーションにおいて、これらの積分法の幾何的保存性は、エネルギー保存または運動量保存の手法と比べてどのように異なるか？
• RQ3 これらの積分法は、非ユークリッド的配置空間へ、シンプレクティック・オイラーおよびストルマー＝ヴェルレ法をどの程度一般化できるか？
• RQ4 離散的ハミルトニアン＝ポントレヤーギン原理は、Lie群上での幾何的整合性をどのように保証するか？
• RQ5 混沌とした運動（水中車両の運動）のような複雑な力学的挙動において、これらの積分法はどのように性能を発揮するか？

主な発見

• 提案された積分法は、Lie群上での変分的設計のおかげで、離散的運動量写像とシンプレクティック形式の両方を保存する。
• 剛体に対する数値実験では、エネルギーのみまたは運動量のみを保存する手法と比較して、長期的な安定性と幾何的忠実性に優れていることが示された。
• 水中車両の混沌とした運動において、変分積分法は射影法や運動量保存法よりも、より効果的に構造を維持した。
• 積分法は、シンプレクティック・オイラーおよびストルマー＝ヴェルレ法をLie群へ一般化しており、非平坦な機械的系への適用範囲を拡大している。
• 幾何的保存性は、変分的定式化に内在しており、人工的に組み込まれたものではなく、複雑な力学的挙動においてより優れた数値的性能を発揮する。