[論文レビュー] Hamilton Variational Principle for Statistical Ensemble of Deterministic Systems and its Application for Ensemble of Stochastic Systems

Yuri A. Rylov|ArXiv.org|Nov 12, 2000

Quantum Mechanics and Applications参考文献 14被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、決定論的系の統計的集合に対してハミルトニアン変分原理を導出し、波動関数を用いて力学を記述することで、確率的系の統計的記述を可能にする。主な結果として、特定の条件下ではこの記述がシュレーディンガー方程式と一致することを示しており、量子力学が特定の確率的エネルギー項を有する確率的粒子運動の統計力学から生じうることを示唆している。

ABSTRACT

Hamilton variational principle for special type of statistical ensemble of deterministic dynamical systems is derived. Thie form of variational principle allows one to describe the statistical ensemble in terms of wave functions and provides a basis for a description of statistical ensemble of stochastic systems. It is shown that sometimes such a statistical description of stochastic particle motion appears to coincide with the quantum description in terms of Schroedinger equation.

研究の動機と目的

• 決定論的力学系の統計的集合に対して波動関数形式を用いた変分原理を構築すること。
• この形式を、決定論的要素の純粋な統計的集合として確率的系を記述するように拡張すること。
• 確率的運動の統計的記述がシュレーディンガー方程式を再現する条件を調査すること。
• 統計的集合における確率的エネルギー寄与の観点から、量子力学的挙動の物理的起源を明確にすること。

提案手法

• 状態が分布関数 $ F_p(t, \mathbf{x}, \mathbf{p}) = \rho(t, \mathbf{x}) \delta(\mathbf{p} - \mathbf{P}(t, \mathbf{x})) $ で記述される純粋な統計的集合に対するハミルトニアン変分原理を導出する。
• リウヴィル方程式を出発点とし、$ \rho $ および $ \mathbf{P} $ に対する連続の方程式およびオイラー型方程式を導出する。
• 波動関数 $ \psi $ を導入し、$ \rho = \psi^* \psi $ とし、$ \psi $ および $ \psi^* $ の関数として作用量関数を構成する。
• 確率的エネルギー項 $ \frac{\hbar^2}{8m} \frac{(\nabla \rho)^2}{\rho} $ を含む非線形作用量関数 $ \mathcal{A}_E[\psi, \psi^*] $ を導出する。この項は $ b_0 = \hbar $ の極限で量子ポテンシャルとして現れる。
• $ b_0 = \hbar $ と設定することで、非線形作用量が標準的なシュレーディンガー作用量に変換され、位相変換の後で線形シュレーディンガー方程式が得られることを示す。
• 不確定性関係が、密度勾配に依存する確率的エネルギーの依存性から自然に生じることを示す。$ \Delta p \sim \hbar / \delta x $。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 波動関数形式を用いた決定論的系の統計的集合に対して、変分原理を構築できるか？
• RQ2 確率的系の統計的記述が、どのような条件下でシュレーディンガー方程式に還元されるか？
• RQ3 量子ポテンシャルの物理的起源は、確率的運動エネルギー寄与の観点からどのように説明できるか？
• RQ4 非線形な統計的記述から、なぜシュレーディンガー方程式の線形性が生じるのか？
• RQ5 作用量における確率的エネルギー項の構造から、なぜ不確定性関係が生じるのか？

主な発見

• 純粋な統計的集合に対するハミルトニアン変分原理は、確率的成分を有する決定論的粒子運動を記述する非線形作用量関数を導く。
• 積分定数 $ b_0 $ を $ \hbar $ に設定すると、非線形作用量は標準的なシュレーディンガー作用量に簡約され、自由粒子に対して線形シュレーディンガー方程式が得られる。
• 確率的エネルギー項 $ \frac{\hbar^2}{8m} \frac{(\nabla \rho)^2}{\rho} $ が、不確定性関係の出現を含む量子力学的挙動の出現を担っている。
• 密度勾配が大きい領域における確率的エネルギー密度の発散から、不確定性関係 $ \Delta p \sim \hbar / \delta x $ が自然に生じる。
• シュレーディンガー方程式の線形性は本質的ではなく、特定の確率的エネルギー項および無渇流流れの選択の結果である。これは、完全に相対論的または回転対称な場合に一般化されない可能性がある。
• 作用量 (4.21) は古典的項と量子的項を明確に分離しており、$ \hbar = 0 $ とすることで明確な古典的極限が得られる。一方、作用量 (4.22) はすべての項に $ \hbar $ が含まれるため、この分離が曇っている。