[論文レビュー] Hamiltonian decomposition and verifying vertex adjacency in 1-skeleton of the traveling salesperson polytope by variable neighborhood search

Andrei V. Nikolaev, Anna Kozlova|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2020

Advanced Graph Theory Research参考文献 39被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、対称および非対称巡回セールスマン問題のポリトープの1次スケルトンにおける頂点非隣接性を検証するために用いられる、4正則マルチグラフにおけるハミルトン分解問題を解く一般化可変近傍探索（GVNS）アルゴリズムを提案する。この手法はサイクルカバー検出を完全マッチングに還元し、反復的な近傍シャッフルと勾配降下を用いることで、先行するシミュレーテッドアニーリング手法と比較して高い成功確率と高速化を達成した。特にピラミダルツアーにおいては、無向グラフでは100%、有向グラフでは94.4%のインスタンスを解消した。

ABSTRACT

We consider a Hamiltonian decomposition problem of partitioning a regular graph into edge-disjoint Hamiltonian cycles. A sufficient condition for vertex adjacency in the 1-skeleton of the traveling salesperson polytope can be formulated as the Hamiltonian decomposition problem in a 4-regular multigraph. We introduce a heuristic general variable neighborhood search algorithm for this problem based on finding a vertex-disjoint cycle cover of the multigraph through reduction to perfect matching and several cycle merging operations. The algorithm has a one-sided error: the answer "not adjacent" is always correct, and was tested on random directed and undirected Hamiltonian cycles and on pyramidal tours.

研究の動機と目的

• 2つのハミルトン閉路の和として生じる4-正則マルチグラフにおけるハミルトン分解のためのヒューリスティックアルゴリズムを開発すること。
• この分解を、既知の十分条件を用いてTSPおよびATSPポリトープの1次スケルトンにおける頂点非隣接性を検証するために応用すること。
• 無向および有向グラフの両方において、成功確率および計算効率の面で先行するシミュレーテッドアニーリング手法を改善すること。
• 非隣接性が構成上保証される合成的ピラミダルツアーインスタンスにおける性能を評価すること。

提案手法

• アルゴリズムは、解を探索するための3つの異なる近傍構造を有する一般化可変近傍探索（GVNS）メタヒューリスティクスを用いる。
• 問題を4-正則マルチグラフにおける頂点素性サイクルカバーの検出問題としてモデル化し、ガジェット構築を用いて完全マッチング問題に還元する。
• 無向グラフの場合、各頂点はK4,2ガジェットに置き換えられ、導出グラフにおける完全マッチング問題に変換される。
• 有向グラフの場合、同様のガジェットに基づく変換が適用され、2イン2アウトのサイクルカバーを完全マッチングとしてモデル化する。
• 可変近傍降下（VND）を用いた反復的近傍降下を実行し、2つの順序（VND-12：まず近傍1、次に近傍2；VND-21：まず近傍2、次に近傍1）を用いることで、局所探索の効率を向上させる。
• 片側誤差が保証される：アルゴリズムが「非隣接」と返した場合、その答えは常に正しい。それ以外の場合は「おそらく隣接」となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つのハミルトン閉路から導かれる4-正則マルチグラフにおけるハミルトン分解問題を、ヒューリスティックなGVNSアルゴリズムが効果的に解けるか。
• RQ2 TSPおよびATSPポリトープの1次スケルトンにおける頂点非隣接性テストにおいて、GVNSアルゴリズムは先行するシミュレーテッドアニーリング手法と比較して、成功確率および実行時間の面で優れているか。
• RQ3 非隣接性が構成上保証される合成インスタンス（例：ピラミダルツアー）において、アルゴリズムはどの程度の成功率を示すか。
• RQ4 VNDにおける近傍探索の順序は性能に顕著な影響を及ぼすか。また、どの順序がより優れた結果をもたらすか。

主な発見

• 無向のランダムハミルトン閉路において、GVNSは1,000インスタンス中203件を解消し、シミュレーテッドアニーリングを著しく上回った。マクネマー検定により、p < 1e-6の有意差が確認された。
• 有向のランダム閉路では、GVNSが203件、SAが157件を解消した。VND-12では、GVNSがSAの5倍の平均速度を示した。
• 無向ピラミダルツアーでは、GVNSは時間制限内に1,000インスタンスすべてを解消したが、SAは1,000中9件にとどまった。これは顕著な性能差を示している。
• 有向ピラミダルツアーでは、GVNSは1,000インスタンス中944件を解消した。VND-12は483件、VND-21は410件を解消し、より大きなインスタンスでも良好な性能を示した。
• 無向グラフではVND-12がVND-21の6倍、有向グラフでは10倍の平均速度を示した。近傍探索の順序が効率に顕著な影響を及ぼしていることが示された。
• アルゴリズムの片側誤差は、非隣接性を報告した場合に常に正しく、多面体組合せ論における非隣接性検証の信頼性を保証する。