[論文レビュー] Hamiltonian dynamics of extended objects: Regge-Teitelboim model

Riccardo Capovilla, Alberto Escalante+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2006

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 1被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、位相空間の拡張を通じて「偽の」高次導関数理論として扱うことで、相対論的拡張対象の Regge-Teitelboim モデルに対する多項式ハミルトニアン形式を提示する。この方法では、速度およびその共役運動量に対する補助変数を導入し、作用が加速度に関して線形であるにもかかわらず、位相空間変数に関して多項式であるハミルトニアンを構成可能にする。主な貢献は、第一類および第二類の完全な制約系の同定であり、これにより正準量子化が可能となり、各法線方向に対して1つの物理的自由度が得られ、Nambu-Goto モデルと整合的であることが明らかになる。

ABSTRACT

We consider the Regge-Teitelboim model for a relativistic extended object embedded in a fixed background Minkowski spacetime, in which the dynamics is determined by an action proportional to the integral of the scalar curvature of the worldvolume spanned by the object in its evolution. In appearance, this action resembles the Einstein-Hilbert action for vacuum General Relativity: the equations of motion for both are second order; the difference is that here the dynamical variables are not the metric, but the embedding functions of the worldvolume. We provide a novel Hamiltonian formulation for this model. The Lagrangian, like that of General Relativity, is linear in the acceleration of the extended object. As such, the model is not a genuine higher derivative theory, a fact reflected in the order of the equations of motion. Nevertheless, as we will show, it is possible as well as useful to treat it as a `fake' higher derivative system, enlarging the phase space appropriately. The corresponding Hamiltonian on this phase space is constructed: it is a polynomial. The complete set of constraints on the phase space is identified. The fact that the equations of motion are of second order in derivatives of the field variables manifests itself in the Hamiltonian formulation through the appearance of additional constraints, both primary and secondary. These new constraints are second class. In this formulation, the Lagrange multipliers implementing the primary constraints get identified as accelerations. This is a generic feature of any Lagrangian linear in the acceleration possessing reparametrization invariance.

研究の動機と目的

• 作用が加速度に関して線形であり、本質的に高次導関数理論ではないにもかかわらず、非多項式形式に起因する制限を克服し、Regge-Teitelboim モデルに対して多項式ハミルトニアンを与えるハミルトニアン形式の構築を目的とする。
• 位相空間を拡張し、速度およびその共役運動量を含めることで、加速度に関して線形だが本質的に高次導関数理論ではない理論の正準枠組みを構築する挑戦に応える。
• 拡張位相空間内での全制約（一次、二次、第一類、第二類）の同定と分類を行う。
• 明確に定義された多項式ハミルトニアンと一貫性のある制約代数を提供することで、モデルの正準量子化を可能にする。
• 物理的自由度が Nambu-Goto モデルと一致し、各法線方向に対して1つであることを示す。これは、力学的起源が異なるにもかかわらず成立する。

提案手法

• 埋め込み関数 $X$ 及びその共役運動量 $P$ の他に、速度 $\dot{X}$ 及びその共役運動量 $p$ を含む位相空間を拡張し、系を高次導関数理論であるかのように扱う。
• ハミルトニアンは、加速度に関する線形依存性を考慮した修正されたルジャンドル変換により導出され、拡張位相空間変数に関して多項式的関数として構成される。
• 一次制約はルジャンドル変換を通じて導入され、ラグランジュ乗数は加速度 $\ddot{X}$ として特定される。これは作用における加速度の線形依存性を反映している。
• 時間発展における一次制約の整合性から二次制約が生じる。詳細な解析により、第一類および第二類の両方の制約が存在することが示される。
• 制約代数は、基底 $\{\dot{X}, X_A, n^i\}$ への射影により解析され、$\{\mathcal{S}_0, \mathcal{S}_A, \mathcal{C}_0, \mathcal{C}_A\}$ が第一類であり、$\{\mathcal{S}_i, \mathcal{C}_i\}$ が第二類であることが明らかになる。
• 第二類制約を処理するためのディラックのアルゴリズムが適用され、一貫性が保たれ、物理的自由度の数え上げが可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 作用が加速度に関して線形であり、本質的に高次導関数理論ではないにもかかわらず、Regge-Teitelboim モデルに対して多項式ハミルトニアン形式を構築することは可能か？
• RQ2 一次、二次、第一類、第二類の制約は、拡張位相空間形式においてどのように生じ、どのように構造化されるか？
• RQ3 物理的自由度の内容は何か？ これは Nambu-Goto モデルとどのように比較できるか？
• RQ4 ハミルトニアン形式におけるラグランジュ乗数は、ブレーンの物理的加速度とどのように関係するか？
• RQ5 正準構造が一貫した多項式ハミルトニアンおよび制約代数を介して、RT モデルの量子化に適応可能か？

主な発見

• ハミルトニアンは、拡張位相空間変数に関して明示的に多項式的であり、従来の非多項式的ハミルトニアンを与える形式に比べて顕著な改善である。
• 一次制約は $P \cdot \dot{X} = 0$ 及び $P \cdot X_A = 0$ として特定され、加速度依存性に起因する追加の制約 $P \cdot n^i + \frac{\sqrt{h}}{N}(n^i \cdot \mathcal{D}_A \mathcal{D}^A X) = 0$ も生じる。
• ハミルトニアン内のラグランジュ乗数 $\lambda$ は加速度 $\ddot{X}$ に同定され、高次導関数的形式であるにもかかわらず、理論が第二階微分型であることが確認される。
• 制約代数には第一類および第二類の両方が含まれる：$\{\mathcal{S}_0, \mathcal{S}_A, \mathcal{C}_0, \mathcal{C}_A\}$ は第一類、$\{\mathcal{S}_i, \mathcal{C}_i\}$ は第二類である。
• 物理的自由度の数え上げにより、法線方向ごとに $D - d - 1$ 個の自由度が得られ、Nambu-Goto モデルと一致し、法線方向ごとに1つの物理的自由度があることが確認される。
• ハミルトンの運動方程式は運動方程式を再現し、$\partial_t \dot{X} = \ddot{X} = \lambda$ により、乗数が加速度として同定され、運動量制約は $p \cdot \dot{X} = 0$ の正準形を回復する。