[論文レビュー] Hamiltonian Field Systems on Composite Manifolds

G. Sardanashvily|ArXiv.org|Sep 27, 1994

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Higgs や重力場などのパラメータ場を表す $\Sigma \to X$ を持つ複合多様体 $Y \to \Sigma \to X$ 上の場の系に対して、マルチモーメンタムハミルトニアン形式を構築する。これらの場を時空座標と同様に座標パラメータとして扱うことで、動的背景構造を含むように古典場理論を一般化し、ファイバーフォールド時空幾何におけるゲージおよび重力結合系に対して一貫したハミルトニアン形式を導く。

ABSTRACT

The multimomentum Hamiltonian formalism is applied to field systems represented by sections of composite manifolds $Y o\Si o X$ where sections of $\Si o X$ are parameter fields, e.g., Higgs fields and gravitational fields. Their values play the role of coordinate parameters, besides the world coordinates.

研究の動機と目的

• 物理場 $Y$ とパラメータ場 $\Sigma$ を持つ複合ファイバー束 $Y \to \Sigma \to X$ 上で定義された場の系に対して、マルチモーメンタムハミルトニアン形式を一般化すること。
• 時空座標と併せて、ヒッグス場や重力場などの場をハミルトニアン枠組みの中で動的座標パラメータとして組み込むこと。
• 背景構造自体が動的である場の理論を幾何学的に定式化し、標準的な共変場理論を拡張すること。
• ゲージおよび微分同型変換対称性と整合するように、このような複合系に対して一貫した変分的およびハミルトニアン構造を確立すること。
• 量子重力やヒッグス駆動型対称性の自発的破れを含む、背景場が動的である理論における正準量子化計画の基盤を築くこと。

提案手法

• 物理場 $Y$ とパラメータ場 $\Sigma$ を持つ複合ファイバー束 $Y \to \Sigma \to X$ を、場の配置空間として形式化する。
• $Y$ のジェットバンドルと $\Sigma$ の余接バンドルからなるマルチモーメンタム位相空間を導入し、共変ハミルトニアン形式を可能にする。
• 物理場およびパラメータ場のダイナミクスを記述するため、拡張位相空間上にマルチモーメンタムプリシンプレクティック形式を定義する。
• 標準的なハミルトニアン場方程式を一般化した、ハミルトゥン＝ド・ドンデル＝ウェイラー方程式を、この拡張枠組みで導出する。
• 変分双複体形式論を用いて、マルチモーメンタム枠組み内でのオイラー＝ラグランジュ方程式およびハミルトニアン方程式を一貫して導出する。
• パラメータ場を配置空間の幾何的データの一部として扱うことで、微分同型変換およびゲージ変換に対して不変となるように形式を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 背景幾何やパラメータ場が動的である場の系に対して、マルチモーメンタムハミルトニアン形式をどのように拡張できるか。
• RQ2 パラメータ場 $\Sigma$ が動的である複合多様体 $Y \to \Sigma \to X$ 上の場の理論における位相空間の幾何的構造は何か。
• RQ3 固定されていないが系の一部として進化するパラメータ場が存在する場合、ハミルトゥン＝ド・ドンデル＝ウェイラー方程式はどのように一般化されるか。
• RQ4 マルチモーメンタムプリシンプレクティック構造が、物理場および背景場の両方のダイナミクスをどのように記述するか。
• RQ5 時空構造が固定ではなく、動的コンテンツの一部である場合、ゲージおよび重力結合系に対して一貫した正準形式を達成できるか。

主な発見

• 本稿は、ヒッグス場や重力場などの動的パラメータ場を表す $\Sigma \to X$ を持つ複合多様体 $Y \to \Sigma \to X$ 上の場の系に対して、一貫したマルチモーメンタムハミルトニアン形式を構築する。
• 位相空間は、$Y$ のジェットバンドルと $\Sigma$ の余接バンドルの部分バンドルとして幾何学的に実現され、物理場と背景場を統一的に取り扱える。
• ハミルトゥン＝ド・ドンデル＝ウェイラー方程式が、この拡張枠組みで導出され、固定された背景構造を含む標準的な場方程式が一般化される。
• パラメータ場を配置空間の幾何的データの一部として扱うことで、形式は微分同型変換およびゲージ不変性を保つ。
• 拡張位相空間上にマルチモーメンタムプリシンプレクティック構造が定義され、変分的およびハミルトニアン形式の一貫性が保証される。
• 量子重力やヒッグス駆動型の自発的対称性の破れを含む、背景場が動的である理論における正準量子化の幾何的基盤を提供する。