[論文レビュー] Hamiltonian Formulation of Palatini f(R) theories a la Brans-Dicke

Gonzalo J. Olmo, Hèlios Sanchis-Alepuz|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2011

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、ω = -3/2 のブランス＝ディック理論に写像することで、パラティーニ f(R) 重力のハミルトニアン形式を提示し、文献における不適切な定式化に関する懸念にもかかわらず、初期値問題が適切に定式化されていることを示している。スカラー場のデジェネレートな運動量が、高次時間微分を排除する代数的制約を生じさせ、一般相対性理論と同様に初期値問題が適切に定式化されることを保証する。

ABSTRACT

We study the Hamiltonian formulation of f(R) theories of gravity both in metric and in Palatini formalism using their classical equivalence with Brans-Dicke theories with a non-trivial potential. The Palatini case, which corresponds to the w=-3/2 Brans-Dicke theory, requires special attention because of new constraints associated with the scalar field, which is non-dynamical. We derive, compare, and discuss the constraints and evolution equations for the ww=-3/2 and w eq -3/2 cases. Based on the properties of the constraint and evolution equations, we find that, contrary to certain claims in the literature, the Cauchy problem for the w=-3/2 case is well-formulated and there is no reason to believe that it is not well-posed in general.

研究の動機と目的

• ω = -3/2 のブランス＝ディック理論への等価性を用いて、パラティーニ f(R) 重力のハミルトニアン形式を提供すること。
• パラティーニ f(R) 理論における初期値問題の不適切な定式化に関する、文献における矛盾する主張を解消すること。
• 特に非動的なスカラー場の役割に注目し、w = -3/2 の場合の制約構造と発展方程式を分析すること。
• 標準的ブランス＝ディック理論（w ≠ -3/2）および一般相対性理論と比較して、パラティーニ f(R) のハミルトニアン構造を分析すること。
• 発展方程式に高次時間微分が存在しないことにより、初期値問題が一般相対性理論と同様に適切に定式化されることを確立すること。

提案手法

• 正準変換を用いて、パラティーニ f(R) 重力を、非自明なポテンシャルと ω = -3/2 を持つブランス＝ディック理論に写像する。
• ディラックの制約解析をハミルトニアン形式に適用し、一次的および二次的制約を特定する。
• w ≠ -3/2 および w = -3/2 の両ケースにおける制約および発展方程式を導出し、スカラー場の運動量のデジェネレート性に注目する。
• スカラー場 φ が物質のトレース T によって代数的に決定されることを示し、二次的制約 φ = φ(T) を得る。
• 発展方程式に φ やその共役運動量の時間微分が存在しないため、適切な定式化が保たれることを示す。
• 得られた方程式を一般相対性理論および標準的ブランス＝ディック理論と比較し、初期値問題の構造を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラティーニ f(R) 重力（ω = -3/2 のブランス＝ディック理論に等価）における初期値問題は、文献における不適切な定式化に関する懸念にもかかわらず、適切に定式化されているか？
• RQ2 w = -3/2 の場合の制約構造は、標準的ブランス＝ディック理論（w ≠ -3/2）とどのように異なるか？
• RQ3 パラティーニの場合におけるスカラー場 φ の役割は何か？なぜ高次時間微分を導入しないのか？
• RQ4 過去の不適切な定式化に関する主張は、なぜ誤った方程式に起因するのか？そして、どのように是正できるか？
• RQ5 パラティーニ f(R) 重力における初期値問題は、一般相対性理論とどの程度構造的に同等であるか？

主な発見

• パラティーニ f(R) 重力における初期値問題は、文献における主張とは異なり、適切に定式化されており、適切に定義されている。
• w = -3/2 の場合、スカラー場 φ は非動的であり、エネルギー運動量テンソルのトレース T によって代数的に決定される。
• スカラー場の運動量のデジェネレート性により、新たな一次的制約が生じ、整合性条件を満たすと二次的制約 φ = φ(T) が得られる。
• 発展方程式に φ やその共役運動量の時間微分が存在しないため、物質場の高次時間微分が生じない。
• 高次時間微分が存在しないことから、初期値問題は一般相対性理論と同様に適切に定式化されている。
• w = -3/2 の場合の制約および発展方程式は、一般相対性理論と構造的に類似しており、φ(T) の空間微分は最大2階までであり、物質源のより高い微分可能性が要求される。