[論文レビュー] Hamiltonian formulation of teleparallel theories of gravity in the time gauge

J. W. Maluf, A. A. Sousa|ArXiv.org|Feb 16, 2000

Geophysics and Gravity Measurements参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、時間ゲージを用いて、ねじれに二次の一般テレパラレル重力理論のハミルトニアン形式を導出する。その結果、第一級制約を持つ一貫したハミルトニアンをもたらすのは、これらの理論のうち1パラメータの部分族に限られることを示している。ニュートン的極限を要求することで、理論は一意にテレパラレル一般相対性理論（TEGR）に還元され、良好に定義された力学的ダイナミクスとエネルギーを持つハミルトニアン枠組みとしての妥当性が確認される。

ABSTRACT

We consider the most general class of teleparallel theories of gravity quadratic in the torsion tensor, and carry out a detailed investigation of its Hamiltonian formulation in the time gauge. Such general class is given by a three-parameter family of theories. A consistent implementation of the Legendre transform reduces the original theory to a one-parameter theory determined in terms of first class constraints. The free parameter is fixed by requiring the Newtonian limit. The resulting theory is the teleparallel equivalent of general relativity.

研究の動機と目的

• 時間ゲージを用いて、ねじれに二次の一般テレパラレル重力理論のハミルトニアン形式を導出すること。
• このような理論の高パラメータ族において生じるリーマン変換の不整合を解消すること。
• 3パラメータ族の中から、一貫した第一級制約の集合をもたらす唯一の理論を同定すること。
• 物理的整合性を保証するために、ニュートン的極限を用いて自由パラメータを固定すること。
• 得られた理論が、テレパラレル一般相対性理論（TEGR）に一致することを確認すること。

提案手法

• 著者たちは、係数 $ c_1, c_2, c_3 $ でパラメータ化された、ねじれテンソルに二次の3パラメータ族のテレパラレルラグランジアンから出発する。
• 時間ゲージでの正準解析を実施し、$ e^a_0 = 0 $ を固定することで、制約構造を単純化する。
• ラグランジアンに対するリーマン変換を実行し、正準運動量を特定し、ハミルトニアン密度を導出する。
• 制約代数を解析し、制約が第一級である条件を特定することで、一貫した初期値問題が保証されることを確認する。
• ニュートン的極限を課すことにより、3パラメータ族を1パラメータ理論に縮小し、自由パラメータを一意に固定する。
• 得られた理論が、標準的な $ -k(e/4)T^{abc}T_{abc} $ ラグランジアン形をもつテレパラレル一般相対性理論（TEGR）と一致することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3パラメータ族のテレパラレル重力理論において、第一級制約を持つ一貫したハミルトニアン形式をもたらす条件は何か？
• RQ2 高次のねじれ項が存在する場合、リーマン変換はどのように振る舞い、どのような制約を課えるか？
• RQ3 ねじれに二次の3パラメータ族の理論の中から、何の基準によって唯一の理論が選ばれるか？
• RQ4 得られた理論は正しいニュートン的極限とADMエネルギーを再現するか？
• RQ5 テレパラレル一般相対性理論は、このクラスの中で唯一の有効理論であるか？

主な発見

• リーマン変換により、元の3パラメータ族のテレパラレル理論は、第一級制約を持つ1パラメータ族に縮小され、一貫したハミルトニアン力学が保証される。
• 制約代数が閉じるのは、パラメータが $ c_1 = 2c_3 $ および $ c_2 = -c_3 $ を満たすときのみであり、これは良好に定義された初期値問題のための必要条件である。
• ニュートン的極限を課すことにより、残りの自由パラメータが一意に固定され、テレパラレル一般相対性理論（TEGR）が唯一の有効理論として選ばれる。
• 得られたハミルトニアン密度は、標準的な TEGR 形式 $ \tilde{H} = -k(e/4)T^{abc}T_{abc} $ と一致し、$ k = 1/(16\tau G) $ である。
• 漸近的条件 $ e_{(i)j} \approx \eta_{ij} + \frac{1}{2}h_{ij}/r $ により、スカラー密度 $ \partial_i(eT^i) $ から正しいADMエネルギーが抽出される。
• 重力エネルギーを明確に定義するには、参照空間の三つ組（$ T_{(i)jk} = 0 $）が必要であり、これはTEGRにおけるこの条件の必要性を確認する。