[論文レビュー] Hamiltonian gauge theory with corners: constraint reduction and flux superselection

Aldo Riello, Michele Schiavina|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2022

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、コーナーを持つ時空におけるゲージ理論のハミルトニアン枠組みを構築し、二段階の還元を導入する：第一に、制約ゲージ群のための運動量写像による制約還元；第二に、残りのフラックスゲージ群によるフラックス超選別。主な結果は、還元された位相空間がフラックス超選別セクターの上にファイバーする部分的ポアソン多様体であることであり、これは量子超選別則の古典的類似を提供する。

ABSTRACT

We study gauge theories on spacetime manifolds with a codimension-$1$ submanifold with boundary. We characterise the reduced phase space of the theory whenever it is described by a local momentum map for the action of the gauge group $\mathcal{G}$, by means of Fréchet reduction by stages. The momentum map decomposes into a bulk term called constraint map, defining a coisotropic constraint set, and a boundary term called flux map. In the first stage, constraint reduction, the constraint set is the zero of a momentum map for a normal subgroup $\mathcal{G}_\circ\subset\mathcal{G}$, called constraint gauge group. In the second stage, flux superselection, the flux map is the momentum map for the residual action of the flux gauge group $\underline{\mathcal{G}}\doteq\mathcal{G}/\mathcal{G}_\circ$, which also controls equivariance. The reduced phase space of the theory, when smooth, is then only a partial Poisson manifold $\underline{\underline{\mathcal{C}}}\simeq \underline{\mathcal{C}}/\underline{\mathcal{G}}$. Its symplectic leaves are called \emph{flux superselection sectors}, for they provide a classical analogue of, and a road map to, the phenomenon of quantum superselection. To corners, we further assign a symplectic Lie algebroid over a Poisson manifold, $\mathsf{A}_{\partial} o \mathcal{P}_{\partial}$, and show how on-shell configurations $\mathcal{C}_{\partial}\subset\mathcal{P}_{\partial}$ are also Poisson. Both $\mathcal{C}_{\partial}$ and $\underline{\underline{\mathcal{C}}}$ fibrate over a common space of superselections, labeling the Casimirs of both Poisson structures. We showcase the formalism by explicitly working out the first and second stage reductions for a broad class of Yang--Mills theories, where $\underline{\underline{\mathcal{C}}}$ is found to be a Weinstein space, and discuss further applications to topological theories.

研究の動機と目的

• 時空のcodimension-1境界（コーナー）を持つ場合のハミルトニアンゲージ理論を、シンプレクティック還元の技術を用いて定式化すること。
• ゲージ群が局所的運動量写像を介して作用する場合の還元位相空間を特徴付けること、特に境界が存在する場合。
• 還元位相空間のシンプレクティック葉がフラックス超選別セクターとして現れることを、残りのゲージ群の運動量写像から導出すること。
• コーナー多様体上に自然なシンプレクティックリーダイアーブロイドを構成し、それとノネルチャージ代数との関係を明らかにすること。
• ヤン・ミルズ理論への適用を示し、トポロジカル場理論（チェーン＝シモンズ理論やBF理論）へと拡張すること。

提案手法

• Fréchetの還元段階を無限次元ゲージ群に適応し、運動量写像を体積項（制約）と境界項（フラックス）に分解する。
• 制約ゲージ群を制約写像の核として定義し、フラックスゲージ群を全ゲージ群から制約部分群を除いた商として定義する。
• 弱同変性およびコycle条件を用いて、フラックスゲージ群が還元位相空間に作用するのを制御する。
• 非オフシェルのコーナーデータ多様体上にポアソン構造を構成し、そのシンプレクティック葉がフラックス超選別セクターとして特定される。
• ヤン・ミルズ理論にこの形式を適用し、2段階目の還元がアーベルの場合にウェインシュタイン空間をもたらすことを示す。
• 還元位相空間およびコーナーデータが共通の超選別ラベルの空間の上にファイバーする構造を確立し、両方のポアソン構造のカシミールを同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプレクティック還元を用いて、コーナーを持つ時空におけるハミルトニアンゲージ理論を一貫して定式化する方法は何か？
• RQ2 境界を持つゲージ理論における運動量写像分解において、制約写像とフラックス写像の役割は何か？
• RQ3 制約還元の後に残るゲージ対称性からフラックス超選別セクターはどのようにして生じるか？
• RQ4 コーナーデータ多様体の幾何的構造は何か？ そしてそれはノネルチャージ代数とどのように関係するか？
• RQ5 この形式はヤン・ミルズ理論、チェーン＝シモンズ理論、BF理論といった具体的な理論にどのように適用されるか？

主な発見

• 理論の還元位相空間は、部分的ポアソン多様体 $\underline{\underline{\mathcal{C}}} = \mathcal{C}/\mathcal{G} \simeq \underline{\mathcal{C}}/\underline{\mathcal{G}}$ であり、フラックス超選別セクターによってラベル付けされたシンプレクティック葉を持つ。
• フラックス超選別セクターは、残りのフラックスゲージ群 $\underline{\mathcal{G}} = \mathcal{G}/\mathcal{G}_{\circ}$ の運動量写像から生じ、コーナーのポアソン構造のカシミールと一対一に対応する。
• ヤン・ミルズ理論において、2段階目の還元はアーベルの場合にウェインシュタイン空間をもたらし、これは良好に定義された還元位相空間を示している。
• コーナー多様体 $\mathcal{P}_{\partial}$ には自然な部分的ポアソン構造が誘導され、そのオンシェル部分多様体 $\mathcal{C}_{\partial}$ はポアソン的であり、ノネルチャージ代数として解釈される。
• 形式は、$\underline{\underline{\mathcal{C}}}$ と $\mathcal{C}_{\partial}$ の両方が共通の超選別ラベル空間の上にファイバーする共通の空間を同定し、古典的超選別構造を統一する。
• Faddeev–Popov作用素 $\Delta_{A_0A}$ が各接続 $A_0$ の近傍で可逆であることが示され、局所的クーロンゲージ固定およびコーナーを伴う場合のホッジ型分解が可能になる。