[論文レビュー] Hamiltonian inclusions with convex dissipation with a view towards applications

Marius Buliga|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2008

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 23被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、凸なエネルギー散逸を組み込んだ動的系の一般化されたハミルトニアン形式を導入し、エネルギー散逸を記述するための部分微分包含を組み込むことで、古典的力学を拡張する。主な貢献は、極限においてミエルケの準静的レート独立プロセスを回復する統一的枠組みを提供し、アムブロシオ＝トルトレッリ型エネルギーと1-斉次な散逸を用いた、新たな動的破壊損傷モデルを可能にする。このモデルにより、最大損傷伝播速度が $\gamma\sqrt{1+c^2}$ のオーダーである微分包含が得られる。

ABSTRACT

We propose a generalization of hamiltonian mechanics, as a hamiltonian inclusion with convex dissipation function. We obtain a dynamical version of the approach of Mielke to quasistatic rate-independent processes. Then we show that a class of models of dynamical brittle damage can be formulated in this setting.

研究の動機と目的

• 凸な散逸関数を部分微分包含を用いて組み込むことで、ハミルトニアン力学を一般化し、不可逆的プロセスのエネルギー一貫性のあるモデル化を可能にする。
• ミエルケの準静的レート独立プロセスを動的文脈に再定式化し、静的および動的損傷力学の橋渡しを図る。
• アムブロシオ＝トルトレッリ型エネルギー関数と1-斉次な散逸関数を用いた、新たな動的破壊損傷モデルの構築。
• 非滑らかでレート独立の損傷伝播を有限の最大速度で捉える損傷進化のための微分包含を導出する。

提案手法

• 部分微分包含として一般化されたハミルトニアン系を定式化：$ J\dot{z} - D_z H(t,z) \in \partial_{\dot{z}} \mathcal{R}(z,\dot{z}) $、ここで $ \mathcal{R} $ は凸な散逸関数。
• ハミルトニアン $ H(t,q,p) = T(p) + \mathcal{E}(t,q) $ を用い、$ T $ を運動エネルギーのフェンヒェル共役関数とし、1-斉次な散逸関数を用いてレート独立行動をモデル化。
• 変位 $ \mathbf{u} $、運動量 $ \mathbf{p} $、損傷 $ d $、損傷駆動変数 $ y $ を含む連続体力学的設定にこの形式を適用し、結合された時間発展方程式を導出。
• 運動量保存則 $ \text{div}(\phi(d)\mathbf{S}) + \mathbf{f}(t) = \dot{\mathbf{p}} $ と損傷進化 $ \dot{d} = b y $ を導出。$ y $ は部分微分不等式に従う。
• 部分微分不等式を等価な微分包含に置き換える：$ -\left(\ddot{d} + \gamma^2 d + \gamma c \phi'(d) w(\nabla\mathbf{u}) - \gamma^2 c^2 \Delta d\right) \in \gamma c \, S(\dot{d}) $、ここで $ S $ は凸関数の部分微分。
• 境界条件 $ \partial\Omega $ における $ y $ と $ d $ に対して、エネルギー保存則と運動学的整合性を満たす解が存在することを確立。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 凸な散逸関数を含むハミルトニアン形式を、不可逆的かつレート独立的プロセスをモデル化するために拡張可能か？
• RQ2 ミエルケの準静的レート独立プロセスは、慣性が無視できる極限における動的ハミルトニアン系として回復可能か？
• RQ3 アムブロシオ＝トルトレッリ型エネルギー関数と1-斉次な散逸関数を用いて、動的破壊損傷モデルを定式化可能か？
• RQ4 このようなモデルにおける損傷の伝播速度は何か？有限のままであるか？
• RQ5 シンプレクティック積分法は、この一般化されたハミルトニアン系に適用可能で、数値シミュレーションにおけるエネルギー安定性を保証できるか？

主な発見

• 提案された凸散逸を有するハミルトニアン包含は、古典的ハミルトニアン力学を一般化し、慣性が無視できる極限においてミエルケの準静的レート独立プロセスを回復する。
• 破壊損傷モデルはアムブロシオ＝トルトレッリ型エネルギー関数と1-斉次な散逸関数に基づき、損傷進化のための部分微分包含が導かれる。
• 損傷進化は $ \dot{d} = b y $ で記述され、$ y $ は部分微分不等式に従い、これにより微分包含 $ -\left(\ddot{d} + \gamma^2 d + \gamma c \phi'(d) w(\nabla\mathbf{u}) - \gamma^2 c^2 \Delta d\right) \in \gamma c \, S(\dot{d}) $ が得られる。
• システムは、微分包含の構造とパラメータの選択から、$ \gamma\sqrt{1 + c^2} $ のオーダーの有限な最大損傷伝播速度を示す。
• 運動量保存則 $ \text{div}(\phi(d)\mathbf{S}) + \mathbf{f}(t) = \dot{\mathbf{p}} $ が回復され、応力 $ \mathbf{S} = Dw(\nabla\mathbf{u}) $ であり、境界条件が自然に満たされる。
• 形式はシンプレクティック離散化を可能とし、数値シミュレーションにおける長期的エネルギー安定性の可能性を示唆する。