[論文レビュー] Hamiltonian loops on the symplectic blow up

Andrés Pedroza|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、シンプレクティック多様体上のハミルトニアンループが、その一点シンプレクティックブロー・アップ上に引き上げられることを示している。ヴァインシュタインの準同型写像を用いて、引き上げられたループがブロー・アップ多様体のハミルトニアン微分同相群の基本群において無限大の位数を持つことを証明し、シンプレクティックトポロジーにおける非自明な位相的不変量を確立している。

ABSTRACT

We lift a Hamiltonian loop on a symplectic manifold to a Hamiltonian loop on the symplectic one-point blow up of a symplectic manifold. Then we use Weinstein's morphism to show that the lifted Hamiltonian loop has infinite order on the fundamental group of the group of Hamiltonian diffeomorphisms of the blown up manifold.

研究の動機と目的

• シンプレクティックブロー・アップ操作におけるハミルトニアンループの挙動を調査すること。
• 一点シンプレクティックブロー・アップにおいて、ハミルトニアン微分同相群の基本群が変化するか否かを特定すること。
• ヴァインシュタインの準同型写像を用いて、引き上げられたループにおける非自明な位相を検出すること。
• 引き上げられたループが、ブロー・アップ多様体のハミルトニアン微分同相群の基本群において無限大の位数を持つことを確立すること。

提案手法

• シンプレクティック幾何学的手法を用いて、元のシンプレクティック多様体からの与えられたハミルトニアンループを、その一点シンプレクティックブロー・アップに引き上げること。
• 引き上げられたループが、ブロー・アップ多様体上でもハミルトニアン性を保つように構成すること。
• ハミルトニアン微分同相群の基本群から、多様体の第一ホモロジー群への準同型写像であるヴァインシュタインの準同型写像を適用すること。
• 準同型写像を用いて、引き上げられたループの像を分析し、その非自明性を導出すること。
• ヴァインシュタインの準同型写像による像が非ゼロであることを示し、これによりループが無限大の位数を持つことを示すこと。
• ブロー・アップ多様体のハミルトニアン微分同相群の基本群に非ねじれ元が存在することを結論づけること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプレクティックブロー・アップ操作は、ハミルトニアン微分同相群の基本群構造を保存するか、あるいは変化させるか？
• RQ2 元の多様体上のハミルトニアンループは、ブロー・アップ多様体上での非可縮性ループに引き上げられるか？
• RQ3 ブロー・アップのハミルトニアン微分同相群の基本群における、引き上げられたハミルトニアンループの位数は何か？
• RQ4 ヴァインシュタインの準同型写像は、引き上げられたループにおける非自明な位相をどのように検出するか？
• RQ5 ブロー・アップのハミルトニアン微分同相群の基本群において、引き上げられたループは無限大の位数を持つか？

主な発見

• 元の多様体上のハミルトニアンループは、一点シンプレクティックブロー・アップ上にハミルトニアンループとして引き上げられる。
• 引き上げられたループは、ブロー・アップ多様体のハミルトニアン微分同相群の基本群において非可縮性である。
• ヴァインシュタインの準同型写像は、引き上げられたループを第一ホモロジー群の非ゼロ要素へ写像する。
• ヴァインシュタインの準同型写像による像が非消滅するため、引き上げられたループは無限大の位数を持つ。
• ブロー・アップ多様体のハミルトニアン微分同相群の基本群には、非ねじれ元が含まれる。
• この結果により、ブロー・アップのシンプレクティックトポロジーにおける非自明な位相的不変量が確立される。