[論文レビュー] Hamiltonian-minimal Lagrangian submanifolds in complex space forms

Ildefonso Castro, Haizhong Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2004

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、奇数次元の球面および反ド・Sitter空間内のレジェンドリアン部分多様体を用いて、複素空間形式—具体的には複素ユークリッド空間、複素射影空間、複素双曲空間—におけるハミルトニアン・ミニマルなラグランジュ部分多様体の新しい例を構成する。ホフプ・ファイブレーションを介してこれらの部分多様体を上に持ち上げ、1パラメータ族の構成を適用することで、明示的なHミニマルなラグランジュ埋め込みおよび埋め込みが得られ、複素ユークリッド空間内の錐や、複素射影空間および双曲空間内の最小ラグランジュ部分多様体が含まれる。

ABSTRACT

Using Legendrian immersions and, in particular, Legendre curves in odd dimensional spheres and anti De Sitter spaces, we provide a method of construction of new examples of Hamiltonian-minimal Lagrangian submanifolds in complex projective and hyperbolic spaces, including explicit one parameter families of embeddings of quotients of certain product manifolds. In addition, new examples of minimal Lagrangian submanifolds in complex projective and hyperbolic spaces also appear. Making use of all of them, we get Hamiltonian-minimal and special Lagrangian cones in complex Euclidean space too.

研究の動機と目的

• 平行平均曲率を持つもの以外の複素射影空間および双曲空間におけるハミルトニアン・ミニマルなラグランジュ部分多様体の新しい例を構成すること。
• ハミルトニアン・ミニマルなラグランジュ部分多様体の分類を、高次元および単連結でない商多様体へと拡張すること。
• 幾何的上昇を用いて、複素ユークリッド空間におけるハミルトニアン・ミニマルおよび特別ラグランジュ錐を生成すること。
• 例えば $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^{n_1} \times \mathbb{S}^{n_2}$ や $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^{n_1} \times \mathbb{R}\mathbb{H}^{n_2}$ のような商多様体の明示的な1パラメータ族のHミニマルなラグランジュ埋め込みを生成すること。
• 構成法の副産物として、既知の最小ラグランジュ部分多様体を回復および拡張すること。

提案手法

• 単位球面 $\mathbb{S}^{2n+1}$ および反ド・Sitter空間 $\mathbb{H}_1^{2n+1}$ 内のレジェンドリアン埋め込みを、基礎的な幾何的道具として用いる。
• ホフプ・ファイブレーション $\Pi: \mathbb{S}^{2n+1} \to \mathbb{C}\mathbb{P}^n$ および $\Pi: \mathbb{H}_1^{2n+1} \to \mathbb{C}\mathbb{H}^n$ を適用して、レジェンドリアン部分多様体を複素空間形式へと射影する。
• 双曲および三角関数（例：$\sinh\rho$, $\cosh\rho$）を含む1パラメータ族の写像を用いて、Hミニマルなラグランジュ埋め込みを構成する。
• 特に $\mathbb{H}_1^3$ 上の常微分方程式系の解を用いたワイエルシュトラス型表現—具体的には $\alpha_j' \bar{\alpha}_j = i \bar{\alpha}_1^{n_1+1} \bar{\alpha}_2^{n_2+1}$ — を用いて、構成に用いる曲線を生成する。
• 実積分を用いて曲線の径方向および角度成分の明示的パラメータ表示を導出し、得られる写像が正しく定義され滑らかであることを保証する。
• 対称性条件（例：$\mathbb{Z}_2$作用）を適用して、単連結でない商多様体から埋め込み可能な部分多様体を獲得する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素射影空間および双曲空間において、平行平均曲率を持つもの以外のハミルトニアン・ミニマルなラグランジュ部分多様体の新しい族を構成できるか？
• RQ2 $\mathbb{S}^{2n+1}$ および $\mathbb{H}_1^{2n+1}$ 内のレジェンドリアン部分多様体は、$\mathbb{C}\mathbb{P}^n$ および $\mathbb{C}\mathbb{H}^n$ 内のHミニマルなラグランジュ部分多様体をどのように生成できるか？
• RQ3 $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^{n_1} \times \mathbb{S}^{n_2}$ や $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^{n_1} \times \mathbb{R}\mathbb{H}^{n_2}$ のような商構成から、どのような明示的な1パラメータ族のHミニマルなラグランジュ埋め込みが得られるか？
• RQ4 これらの幾何的上昇から、$\mathbb{C}^{n+1}$ 内の特別ラグランジュ錐を構成できるか？
• RQ5 構成法が最小ラグランジュ部分多様体を生成する条件は何か？

主な発見

• $\mathbb{S}^{2n+1}$ 内のレジェンドリアン部分多様体の射影を介して、$\mathbb{C}\mathbb{P}^n$ 内に1パラメータ族のHミニマルなラグランジュ埋め込みが構成され、$n_1 + n_2 + 1 = n$ を満たす $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^{n_1} \times \mathbb{S}^{n_2}$ の明示的埋め込みが含まれる。
• $\mathbb{H}_1^{2n+1}$ 内のレジェンドリアン部分多様体を用いて、$\mathbb{C}\mathbb{H}^n$ 内に新しいHミニマルなラグランジュ埋め込みが構成され、$\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^{n_1} \times \mathbb{R}\mathbb{H}^{n_2}$ を $\mathbb{Z}_2$作用で商したものの明示的埋め込みが含まれる。
• $\mathbb{S}^{2n+1}$ および $\mathbb{H}_1^{2n+1}$ 内の構成済みのレジェンドリアン部分多様体のリンクとして、$\mathbb{C}^{n+1}$ 内の特別ラグランジュ錐が得られ、複素ユークリッド空間における新しい例が得られる。
• 初期のレジェンドリアン部分多様体がCミニマルである場合、構成法は $\mathbb{C}\mathbb{P}^n$ および $\mathbb{C}\mathbb{H}^n$ 内の新しい最小ラグランジュ部分多様体を特別な場合として得る。
• $\mathbb{H}_1^3$ 上の常微分方程式系の解を用いて、$\mathbb{C}\mathbb{H}^n$ 内に1パラメータ族の最小ラグランジュ埋め込みが得られ、$x^2 + \sinh^2\varrho$ および $x^2 + \cosh^2\varrho$ の有理関数の積分を含む明示的パラメータ表示が得られる。
• 本手法により、任意の $n \geq 2$ に対して、$\mathbb{C}^{n+1}$, $\mathbb{C}\mathbb{P}^n$, $\mathbb{C}\mathbb{H}^n$ 内に完全なHミニマルなラグランジュ部分多様体の族が得られ、低次元における既知の例を一般化する。