[論文レビュー] Hamiltonian Principle in Binary Mixtures of Euler Fluids with Applications to the Second Sound Phenomena

Henri Gouin, Tommaso Ruggeri|ArXiv.org|May 29, 2008

Quantum, superfluid, helium dynamics参考文献 13被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、二成分のエーランガー流体混合系において、ハミルトニアン変分原理とリーダル・トロモメカニクスの間の厳密な同等性を確立し、ラグランジアンが内部変数にのみ依存する場合の断熱的状況において、両理論が同一の運動方程式を導出することを示している。主な結果として、低温条件下におけるランダウの超流動ヘリウムモデルとの整合性が確認され、第二音波現象に対するハミルトニアンアプローチの妥当性が裏付けられた。

ABSTRACT

In the present paper we compare the theory of mixtures based on Rational Thermomechanics with the one obtained by Hamilton principle. We prove that the two theories coincide in the adiabatic case when the action is constructed with the intrinsic Lagrangian. In the complete thermodynamical case we show that we have also coincidence in the case of low temperature when the second sound phenomena arises for superfluid Helium and crystals.

研究の動機と目的

• 二成分のエーランガー流体混合系の文脈において、ハミルトニアン変分原理とリーダル・トロモメカニクスを統合すること。
• 内部ラグランジアンに基づく変分的手法が、熱力学的原則から導かれる平衡法則を再現するかどうかを調査すること。
• ハミルトニアンフレームワークが、超流動ヘリウムおよび結晶性物質における第二音波現象に適用可能かどうかを検証すること。
• 2つの理論的アプローチ（変分的および熱力学的）が同一の運動方程式を導くための条件を確立すること。
• ガリレオ不変ラグランジアンを用いたハミルトンの原理を用いて、二速度流体モデルの理論的基盤を拡張すること。

提案手法

• 内部ラグランジアン $ L = E_c - \beta $ を用いて作用積分を定式化し、ここで $ E_c $ は内部運動エネルギー、$ \beta = \rho \rho_{\text{I}} $ は密度 $ \rho_1, \rho_2 $ および相対速度 $ \omega = |\mathbf{v}_1 - \mathbf{v}_2| $ に依存する内部エネルギーである。
• 時空領域 $ \mathcal{W} = [t_0,t_1] \times D $ 上で作用の最小化原理 $ \delta I = 0 $ を適用し、境界上で変分が消える条件を課す。
• 作用の変分をとり、一般化運動量 $ \mathbf{k}_a $ および $ \beta $ の勾配を含む、オイラー＝ポincare型の運動方程式を導出する。
• 各成分の運動方程式に $ \rho_a $ を乗じて総和をとることで、全運動量および全エネルギーの保存方程式を導出し、混合系の巨視的保存則と整合することを保証する。
• 断熱的状況に特化し、$ \beta $ が $ \omega $ に依存しない場合、$ \beta = \rho_1 \varepsilon_1(\rho_1) + \rho_2 \varepsilon_2(\rho_2) $ に簡略化され、リーダル・トロモメカニクスと比較する。
• 得られた方程式が、混合系における質量、運動量、エネルギーの標準的平衡法則（全応力テンソル $ \mathbf{t} $ および熱フラックス $ \mathbf{q} $ の定義を含む）と一致することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハミルトニアン変分原理が、二成分のエーランガー流体混合系において、リーダル・トロモメカニクスの平衡方程式をどの条件下で再現するか。
• RQ2 内部エネルギー $ \beta $ に相対速度依存性を含めることで、変分的および熱力学的定式化の整合性にどのような影響が生じるか。
• RQ3 低温条件下における超流動ヘリウムおよび結晶系において、ハミルトニアンアプローチが第二音波現象を正しく記述できるか。
• RQ4 内部ラグランジアンから導かれる変分方程式と、多成分流体における古典的平衡法則との間に直接的な対応関係があるか。
• RQ5 ガリレオ不変性が、流体混合系の変分的および熱力学的定式化の整合性を保証するために果たす役割は何か。

主な発見

• 断熱的状況において、内部ラグランジアン $ L = E_c - \rho \varepsilon_I $ が相対速度 $ \omega $ に依存しない場合、ハミルトニアン原理から導かれる方程式は、リーダル・トロモメカニクスの結果と完全に一致する。
• 変分原理から導かれた運動量およびエネルギー保存方程式は、混合系の標準的巨視的保存則と一致しており、全応力テンソル $ \mathbf{t} $ および熱フラックス $ \mathbf{q} $ の定義を含む。
• 第二音波が顕在化する低温条件下では、変分的手法の結果がランダウの超流動モデルと整合し、物理的妥当性が裏付けられる。
• 一般化運動量 $ \mathbf{k}_a $ は、$ \partial \beta / \partial \omega $ から導かれる速度および勾配項を含み、$ \beta $ が $ \omega $ に依存しない場合には消え、標準的オイラー方程式が回復される。
• 変分原理から導かれる全エネルギー方程式は、全エネルギーの保存則を満たしており、エネルギー密度に内部運動エネルギーおよび内部エネルギーが適切に含まれている。
• 2つのフレームワーク間の同等性は、機械的（断熱的）状況にとどまらず、低温における熱力学的状態でも成立し、第二音波現象に対するハミルトニアン法の適用が正当化される。