[論文レビュー] Hamiltonian Simulation in the Interaction Picture

Guang Hao Low, Nathan Wiebe|arXiv (Cornell University)|May 2, 2018

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ひとこと要約

この論文は、切り捨てダイソン級数を用いた時間依存量子ダイナミクスの低スペースオーバーヘッドアルゴリズムを提示し、相互作用ピクチャで適用して、対角優勢系や長距離相互作用を持つハバードモデルを含む特定のハミルトニアンに対してゲート複雑性を改善させる。

ABSTRACT

We present a low-space overhead simulation algorithm based on the truncated Dyson series for time-dependent quantum dynamics. This algorithm is applied to simulating time-independent Hamiltonians by transitioning to the interaction picture, where some portions are made time-dependent. This can provide a favorable complexity trade-off as the algorithm scales exponentially better with derivatives of the time-dependent component than the original Hamiltonian. We show that this leads to an exponential improvement in gate complexity for simulating some classes of diagonally dominant Hamiltonian. Additionally we show that this can reduce the gate-complexity scaling for simulating $N$-site Hubbard models for time $t$ with arbitrary long-range interactions as well as reduce the cost of quantum chemistry simulations within a similar-sized plane-wave basis to $\widetilde{\mathcal{O}}(N^2t)$ from $\widetilde{\mathcal{O}}(N^{11/3}t)$. We also show a quadratic improvement in query complexity for simulating sparse time-dependent Hamiltonians, which may be of independent interest.

研究の動機と目的

• 時間依存量子ダイナミクスのための切り捨てダイソン級数を用いた低スペースオーバーヘッド法の動機付けと開発。
• 特定のハミルトニアンで有利な複雑さのトレードオフを得るために相互作用ピクチャへ切り替える方法を示す。
• シュレディンガー写真と比較してゲートと空間コストを改善する厳密な解析と回路構成を提供する。
• 長距離相互作用と平面波電子構造を含むハバードモデルへの適用による実用的利点を実証する。
• スパースで時間依存なハミルトニアンへのフレームワーク拡張と複雑さ理論的含意を議論する。

提案手法

• スペクトral normをα、平均変化率⟨||Ḣ||⟩を用いたH(s)の切り捨てダイソン級数に基づく一般的な時間依存シミュレーションアルゴリズムを開発する。
• ハミルトニアンをブロックエンコーディングオラクルHAMおよびHAM-Tで標準形入力モデルに従ってエンコードする。
• 切り捨てと離散化誤差を解析し、時間依存設定でのコストをO(α t log(α t/ε)/log log(α t/ε))クエリと示す。
• H = A + B, H_I(t) = e^{iAt}Be^{-iAt}となる相互作用ピクチャへ切り捨てダイソン級数を適用し、AではなくBのノルム ||B||を優先するようなコストスケーリングを可能にする。
• 長時間進化のためのマルチセグメント戦略を導出し、明示的なゲート・キュービット・クエリの複雑さを提供する。
• ハミルトニアンが疎な時間依存性を持つ場合や対角優勢の場合、ハバードモデルや平面波電子構造を含むケースでの複雑さの改善を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間依存ハミルトニアンに対して切り捨てダイソン級数を厳密に分析して、量子回路を用いた誤差を管理できるか。
• RQ2 特定のハミルトニアン構造に対して相互作用ピクチャとシュレディンガー写真でのゲート・空間コストはどう異なるか。
• RQ3 相互作用ピクチャは大きなAノルム項への依存を減らし、A+Bの小さなBノルムに比例した効率を増幅できるか。
• RQ4 長距離相互作用を持つハバードモデルや平面波電子構造のゲート計数への影響はどのようになるか。
• RQ5 疎な時間依存ハミルトニアンへこのアプローチを拡張した場合、どのような複雑さの改善が得られるか。

主な発見

• 時間依存ハミルトニアンに対するダイソン級数ベースのシミュレーションは、O(α t log(α t/ε)/log log(α t/ε))クエリのコストと、従来法に比べた量子ビットオーバーヘッドの低減を達成する。
• 相互作用ピクチャでのシミュレーションは、対角優勢な一部のハミルトニアンに対して||A||ではなく||B||にスケールすることでゲート複雑性の指数的改善をもたらす。
• 長距離相互作用を持つNサイトハバードモデルに適用すると、ゲート複雑性は約 Õ(N^2 t)となり、以前の Õ(N^{11/3} t) スケーリングに対してほぼ二次的改善となる。
• 平面波基底の電子構造文脈では、方法はシミュレーションを約 Õ(N^2 t)ゲートへと削減し、二次的改善に非常に近づく。
• 標準クエリモデルの下で、疎な時間依存ハミルトニアンに対してクエリ複雑性の二次的改善を示す。
• フレームワークは厳密な界値と明示的な回路構成を提供し、長時間進化のためのマルチセグメント戦略を含む。