[論文レビュー] Hamiltonian spaces for Manin pairs over manifolds

David Iglesias Ponte, Ping Xu|ArXiv.org|Sep 24, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、コルタン代数ダルの一般化されたディラック構造を用いて、多様体上のマニン対に対するハミルトニアン空間を導入し、リー群、ポワンソ・リー群、および準ポワンソ空間のモーメント写像理論を統一する。主な貢献は、準リー双代数ダルとそれに対応するマニン対のハミルトニアン空間の間の一対一対応を確立することであり、ディラック構造を通じて準ハミルトニアンおよびポワンソ還元を統一的に扱うフレームワークを可能にする。

ABSTRACT

We introduce the notion of Hamiltonian spaces for Manin pairs over manifolds, using the so-called generalized Dirac structures. As an example, we describe Hamiltonian spaces of a quasi-Lie bialgebroid using this general framework. We also discuss reduction of Hamiltonian spaces of this general type.

研究の動機と目的

• リー群、ポワンソ・リー群、および準ポワンソ空間のモーメント写像理論を、多様体上のマニン対を用いて統一的な枠組みに一般化すること。
• ベース多様体 S 上のマニン対に対して、積コルタン代数ダル D×(TX⊕T*X) 内の一般化されたディラック構造を用いてハミルトニアン空間を定義すること。
• 準リー双代数ダルのハミルトニアン空間とそれに対応するマニン対のハミルトニアン空間との間の対応関係を確立すること。
• ディラック構造を用いたハミルトニアン空間の幾何的還元手続きを提供し、商空間上のポワンソ構造を回復すること。

提案手法

• コルタン代数ダル D→S とディラック構造 A→S を用い、積コルタン代数ダル D×(TX⊕T*X) 内の一般化されたディラック構造 F→graph(J) を介してハミルトニアン空間を定義する。
• 積分可能性条件を弱めた一般化されたディラック構造の概念を適用し、ベース空間 S の部分多様体を許容する。
• リー代数ダル A がモーメント写像 J:X→S に作用する仕組みから、多様体 X 上にディラック構造 F(A) を構成する。
• 準リー双代数ダルとコルタン代数ダル A⊕A*→S 間の対応関係に依拠し、等方的補完 B がマニン準三重組を生成する。
• 標準的ディラック還元を適用して、特徴的分布によって定義される同値関係 ∼ による商空間 X/∼ 上にポワンソ構造を構成する。
• 写像 (v,α)↦(Π♯(α)+v,α) による TX⊕T*X→TX⊕T*X のコルタン代数ダル同型を用いて、ディラック構造とポワンソ幾何学との関係を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー群、ポワンソ・リー群、および準ポワンソ空間のモーメント写像理論を、単一の幾何的枠組みで統一することは可能か？
• RQ2 モーメント写像の像が点ではなく多様体上の同次空間 D/G である場合、ハミルトニアン空間の正しい一般化は何か？
• RQ3 コルタン代数ダル内の一般化されたディラック構造は、多様体上のマニン対の文脈において、ハミルトニアン作用と還元とどのように関係するか？
• RQ4 準リー双代数ダルのハミルトニアン空間とそれに対応するマニン対のハミルトニアン空間との間の正確な対応関係は何か？

主な発見

• 多様体 S 上のマニン対 (D,A) のハミルトニアン空間は、積コルタン代数ダル D×(TX⊕T*X) 内の一般化されたディラック構造 F→graph(J) を介して定義される。
• この構成により、リー代数ダル A がモーメント写像 J:X→S に作用する仕組みが誘導され、X 上にディラック構造 F(A) が得られ、標準的ディラック還元が可能になる。
• 準リー双代数ダルのハミルトニアン空間とそれに対応するマニン対 (D×S, A×S) のハミルトニアン空間との間には一対一対応が存在する。
• マニン準三重組 (d,g,h) のための準ハミルトニアン空間は、マニン対 (d×S, g×S) のハミルトニアン空間と同値であり、還元空間上のポワンソ構造は Π_X の制限によって与えられる。
• 等方的補完 B が可積分（すなわちディラック構造）である場合、この枠組みは標準的ポワンソ幾何学を回復し、還元空間は Π_X から誘導されるポワンソ構造を引き継ぐ。