[論文レビュー] Hamiltonian symmetries and reduction in generalized geometry

Shengda Hu|ArXiv.org|Sep 5, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 50被引用数 36

ひとこと要約

この論文は、閉3形式のずれ $H$ を持つ一般化された複素幾何に、ハミルトニアンの対称性と還元をシンプレクティック幾何から拡張する。$H$-ずれハミルトニアンの対称性と作用を定義し、一般化された複素還元を構成し、その還元における位相的変化がずれクラスの変化と本質的に関連していることを示し、一般化されたコルダンバンドロイドの枠組みにおいてシンプレクティック還元を一般化する。

ABSTRACT

A closed 3-form $H \in Ω^3_0(M)$ defines an extension of $Γ(TM)$ by $Ω^2_0(M)$. This fact leads to the definition of the group of $H$-twisted Hamiltonian symmetries $\Ham(M, \JJ; H)$ as well as Hamiltonian action of Lie group and moment map in the category of (twisted) generalized complex manifold. The Hamiltonian reduction in the category of generalized complex geometry is then constructed. The definitions and constructions are natural extensions of the corresponding ones in the symplectic geometry. We describe cutting in generalized complex geometry to show that it's a general phenomenon in generalized geometry that topology change is often accompanied by twisting (class) change.

研究の動機と目的

• $H$-ずれされた一般化された複素多様体におけるハミルトニアンの対称性および群作用の概念を拡張すること。
• シンプレクティック還元に類似した一般化された複素還元手順を構築すること。
• 還元における位相的変化が、一般化された幾何の重要な特徴たるずれクラス $[H]$ の変化を伴うことを示すこと。
• $H$ が低下しない場合でも、還元された空間が自然な拡張された複素構造を引き継ぐこと。
• 一般化されたカラビ–ヤウ構造が還元によって保存され、トーラス作用に対してデュイステルマット–ヘックマンの公式が成り立つことを証明すること。

提案手法

• 閉3形式 $H \in \Omega^3_0(M)$ を用いて、$\mathbb{T}M = TM \oplus T^*M$ 上の $H$-ずれコルダンバンドロイド構造を基礎的な幾何的枠組みとして用いる。
• 2次コサイクル $\alpha_H(X,Y) = d(\iota_Y \iota_X H)$ を通じて、$\Gamma(TM)$ から $\Omega^2_0(M)$ への非自明な拡張として、$H$-ずれ一般化対称性のリー代数 $\mathscr{X}_H$ を定義する。
• $f \in C^\infty(M)$ に対して一般化されたハミルトニアンベクトル場 $\mathfrak{X}_f = \mathbb{J}(df)$ を定義し、$\mathrm{Ham}(M,\mathbb{J};H)$ 内の時間1対称性を生成する。
• モーメント写像 $\mu: M \to \mathfrak{g}^*$ を用いた還元を構成し、0 が正則値であり、$\mu^{-1}(0)$ 上で作用が自由であると仮定して、還元空間 $Q = \mu^{-1}(0)/G$ を得る。
• 還元空間 $Q$ が自然な拡張された複素構造を備えており、誘導されたコルダンバンドロイド構造は正確であるが、作用が $\mathrm{Diff}(M)$ を通して因数分解しない限り、$\mathbb{T}Q$ と自然に同型ではないことを確立する。
• $\psi_H: \mathscr{X}_H \hookrightarrow \mathscr{X} = \Gamma(TM) \oplus \Omega^2(M)$ を $(X,A) \mapsto (X, A - \iota_X H)$ で定義し、一般化されたベクトル場を対称性に統合する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $H$-ずれされた一般化された複素幾何の文脈において、ハミルトニアンの対称性および作用をどのように定義できるか。
• RQ2 一般化された複素還元は一般化された複素構造を保存するか。もしそうなら、どのような条件下でか。
• RQ3 還元においてずれクラス $[H]$ の挙動はいかなるものか。位相的変化が生じるとき、ずれクラスは変化するか。
• RQ4 還元手順は一般化されたカラビ–ヤウ多様体に適用可能か。また、カラビ–ヤウ条件は保存されるか。
• RQ5 トーラス作用の場合は、ずれクラスに対してデュイステルマット–ヘックマン型の公式が成り立つか。

主な発見

• $H$-ずれハミルトニアン対称性の群 $\mathrm{Ham}(M,\mathbb{J};H)$ は、一般化された複素構造 $\mathbb{J}$ を保存する $H$-ずれ一般化対称性の部分群である。
• $H$-ずれされた一般化された複素多様体 $M$ をコンパクトなリー群 $G$ で還元する場合、モーメント写像が正則で、作用が $\mu^{-1}(0)$ 上で自由であると仮定すれば、還元空間 $Q$ は自然な拡張された複素構造を備える。
• 還元空間 $Q$ に $H$ が低下する必要はなく、還元構造の $\check{\imath}$-類は接続形式や不変な $B$-場の選び方に依存しない。
• $H$-ずれされた一般化されたカラビ–ヤウ多様体の還元は、依然として一般化されたカラビ–ヤウである。自然な正則体積形式はゲージ変換を除いて保存される。
• トーラス作用の場合は、モーメント写像像の各正則成分において、還元構造のずれクラスがデュイステルマット–ヘックマン型の公式を満たす。
• 一般化幾何におけるカット構成は、位相的変化が常にずれクラスの変化を伴うことを示し、理論における一般的現象を確認する。