[論文レビュー] Hamiltonian vector fields of homogeneous polynomials in two variables

Sergiy Maksymenko|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2007

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、重複する素因数をもたない（すなわち、性質 (*) を満たす）2変数の同次多項式に付随するハミルトニアンベクトル場に対して、恒等写像にホモトープで軌道を保存する滑らかな微分同相写像の任意の局所的同型写像が、滑らかな実数値関数に沿った流れによる滑らかな時間ずれとして表現可能であることを確立している。主な結果は、$ \widehat{\mathcal{E}}_{ \mathrm{id}}(G,O) = \mathrm{Sh}(G,O)$ という等式であり、恒等写像の成分に属する軌道を保存する微分同相写像は、まさに流れに沿った滑らかなシフトによって生成されることを示している。

ABSTRACT

Let $g:\mathbb{R}^2 o\mathbb{R}$ be a homogeneous polynomial of degree $p>1$, $G=(-g'_{y}, g'_{x})$ be its Hamiltonian vector field, and $G_t$ be the local flow generated by $G$. Denote by $E(G,O)$ the space of germs of $C^{\infty}$ diffeomorphisms $(\mathbb{R}^2,O) o(\mathbb{R}^2,O)$ that preserve orbits of $G$. Let also $E_{\mathrm{id}}(G,O)$ be the identity component of $E(G,O)$ with respect to $C^1$-topology. Suppose that $g$ has no multiple prime factors. Then we prove that for every $h\in E_{\mathrm{id}}(G,O)$ there exists a germ of a smooth function $α:\mathbb{R}^2 o\mathbb{R}$ at $O$ such that $h(z)=G_{α(z)}(z)$.

研究の動機と目的

• 2変数の同次多項式に付随するハミルトニアンベクトル場の軌道を保存する滑らかな微分同相写像の局所的同型写像群の恒等写像成分を特徴づけること。
• このような微分同相写像が、ベクトル場の流れに沿った時間ずれ写像として生じる条件を特定すること。
• 特に多項式に重複する素因数が存在しない場合に、軌道を保存する微分同相写像と滑らかな流れに沿ったシフトとの間の構造的対応を確立すること。

提案手法

• 次数 $\geq 2$ の同次多項式 $g$ に対して、ハミルトニアンベクトル場 $G = (-g_y, g_x)$ を定義する。
• 恒等写像にホモトープで $G$ の軌道を保存する $C^\infty$ 微分同相写像の局所的同型写像の空間 $\widehat{\mathcal{E}}_{ \mathrm{id}}(G,O)$ を導入する。
• 流れ $\mathbf{G}_t$ と滑らかな関数 $\alpha(z)$ を用いて $h(z) = \mathbf{G}_{\alpha(z)}(z)$ と表される局所的同型写像の集合 $\mathrm{Sh}(G,O)$ を定義する。
• 局所座標とハダマールの補題を用いて、微分同相写像下での点間の時間関数 $\psi$ の正則性を解析し、境界で平坦であることを示す。
• 写像 $\hat{h} \mapsto \psi$ が $C^{r+p,r}_{W,W}$-位相において連続であることを証明し、時間関数の微分同相写像に対する滑らかな依存性を保証する。
• 多項式 $g$ が重複する素因数を持たない（すなわち、性質 (*) を満たす）条件下で、等式 $\widehat{\mathcal{E}}_{ \mathrm{id}}(G,O) = \mathrm{Sh}(G,O)$ を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 恒等写像にホモトープな軌道を保存する微分同相写像が、ハミルトニアンベクトル場の流れに沿った滑らかなずれとして表現可能となる条件は何か？
• RQ2 恒等写像成分の軌道を保存する微分同相写像群は、滑らかな関数によって生成される時間ずれ写像によって完全に記述可能か？
• RQ3 同次多項式の素因数分解において重複する素因数が存在しないことが、軌道を保存する微分同相写像群の構造に果たす役割は何か？
• RQ4 時間関数 $\psi$ の滑らかさと境界での平坦性は、微分同相写像およびベクトル場の構造の正則性とどのように関係するか？
• RQ5 ハミルトニアンベクトル場が性質 (*) を満たすことで、軌道を保存する微分同相写像が流れによって生成されることをどの程度保証できるか？

主な発見

• 軌道を保存する微分同相写像の局所的同型写像群の恒等写像成分 $\widehat{\mathcal{E}}_{ \mathrm{id}}(G,O)$ は、$G$ の流れに沿った滑らかなずれの集合 $\mathrm{Sh}(G,O)$ と完全に一致する。
• 任意の $h \in \widehat{\mathcal{E}}_{ \mathrm{id}}(G,O)$ は、原点における滑らかな局所関数 $\alpha: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ を用いて $h(z) = \mathbf{G}_{\alpha(z)}(z)$ と表せる。
• 多項式 $g$ に重複する因数が存在しない場合、点間の流れ時間の測定関数 $\psi$ は滑らかで、境界で平坦である。
• 写像 $\hat{h} \mapsto \psi$ は $C^{r+p,r}_{W,W}$-位相において連続であり、微分同相写像に応じた時間関数の滑らかな依存性が保証される。
• 線形ベクトル場に関する先行研究を拡張し、孤立した特異点をもつ曲面上のモース関数の安定化群のホモトピー型の計算が可能になる。
• 等式 $\widehat{\mathcal{E}}_{ \mathrm{id}}(G,O) = \mathrm{Sh}(G,O)$ が成立するためには、多項式 $g$ が重複する素因数を持たない（性質 (*) を満たす）ことが必要かつ十分である。