[論文レビュー] Hamiltonians and Lagrangians of non-autonomous one-dimensional mechanical systems

G. F. Torres del Castillo, I. Rubalcava García|ArXiv.org|Nov 2, 2006

Elasticity and Wave Propagation参考文献 2被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、非自励な1次元力学系を記述する2階非同次常微分方程式系に対して、その力学的ダイナミクスに由来する微分形式の積分因子を求める手法を用いて、ハミルトニアン形式で表現する体系的な方法を提示する。主な貢献は、ハミルトニアンおよび正準変数を直接構成する手続きを提供し、ラグランジアンの存在に必要なヘルムホルツの条件や、自励系における無限個のハミルトニアンが得られることを回復することにある。

ABSTRACT

It is shown that a given non-autonomous system of two first-order ordinary differential equations can be expressed in Hamiltonian form. The derivation presented here allow us to obtain previously known results such as the infinite number of Hamiltonians in the autonomous case and the Helmholtz condition for the existence of a Lagrangian.

研究の動機と目的

• 非自励な2階一階常微分方程式系をハミルトニアン形式で表現する一般的で構成的な手続きを提供すること。
• ハミルトニアンの存在と、系に由来する微分形式の可積分性との間の直接的な関係を確立すること。
• 2階微分方程式から導かれる特別な場合において、ラグランジアン存在のためのヘルムホルツの条件を回復すること。
• ラグランジアン形式が存在しない場合でも、ハミルトニアン形式が可能であることを示すこと、特に結合されていないか非保存系においてその可能性を示すこと。
• 時間依存の積分因子が正準運動量および時間依存ハミルトニアンを構成する役割を明確にすること。

提案手法

• 系を一階常微分方程式のペアとして定式化する：$\dot{x} = f(x,y,t)$, $\dot{y} = g(x,y,t)$ とし、$x$ と $y$ を力学変数とみなす。
• 正準変換の時間微分を表す $\phi$ と $\psi$ を用いて、微分1形式 $-(g - \phi)\,dx + (f - \psi)\,dy$ を構成する。
• 微分形式が $\sigma\,dH$ の形に書き換えられるような積分因子 $\sigma(x,y,t)$ を特定する。これによりハミルトニアン $H$ を定義可能となる。
• $q = x$ を固定することで変換を簡略化し、$\partial p / \partial y = 1/\sigma$ を得る。これにより正準運動量 $p$ が定義される。
• ハミルトニアン構造の整合性を支配する、$\sigma^{-1}$ の時間発展方程式 $\partial_t \sigma^{-1} = -\sigma^{-1} \partial_y \phi - \phi \partial_y \sigma^{-1}$ を導出する。
• ハミルトニアンは $dH = -\sigma^{-1}(g - \phi)\,dx + \sigma^{-1}f\,dy + \partial_t H\,dt$ により回復され、$p$ と $H$ は $\sigma$ と系関数の形で表される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の非自励な2階一階常微分方程式系は、ハミルトニアン形式に常に変換可能か？
• RQ2 積分因子 $\sigma$ がハミルトニアンおよび正準運動量を構成する際に果たす役割は何か？
• RQ3 導出された条件 $\partial_t \sigma^{-1} = -\sigma^{-1} \partial_y \phi - \phi \partial_y \sigma^{-1}$ は、ヘルムホルツの条件のような既知の制約とどのように関係するか？
• RQ4 ラグランジアンが存在しない場合でも、ハミルトニアンが存在する条件は何か？
• RQ5 2階微分方程式から導かれない系、例えば結合されていない系や非保存系に対して、この手法はどのように適用可能か？

主な発見

• 関連する微分形式に対して積分因子 $\sigma$ が存在する限り、非自励な2階一階常微分方程式系は、すべてハミルトニアン形式に表現可能である。
• 正準運動量 $p$ は $\partial p / \partial y = 1/\sigma$ により定義され、ハミルトニアン $H$ は $dH = \sigma^{-1}(- (g - \phi) dx + f dy)$ により構成される。
• 条件 $\partial_t \sigma^{-1} = -\sigma^{-1} \partial_y \phi - \phi \partial_y \sigma^{-1}$ は時間発展の整合性を保証し、ヘルムホルツ条件を一般化する。
• 2階微分方程式 $\ddot{x} = F(x, \dot{x}, t)$ の場合、この方法により標準的なヘルムホルツ条件 $\partial_t \sigma^{-1} = -\sigma^{-1} \partial_y F$ が回復される。
• 結合されていない系 $\dot{x} = f(x,t)$, $\dot{y} = g(y,t)$ のような系に対しても、ハミルトニアンは存在するが、リーマン変換は失敗するため、ラグランジアン形式は存在しない。
• ハミルトニアン $H$ は一般に全エネルギーではなく、非二次的あるいは対数的であってもよい。相対論的摩擦の例では $H = -x/m + \frac{1}{2(\lambda\alpha^2 - \gamma)} \ln\left|\frac{\lambda - \gamma y^2}{1 - \alpha^2 y^2}\right|$ となる。