[論文レビュー] Hamiltonians for Two-Anyon Systems

Michele Correggi, Luca Oddis|arXiv (Cornell University)|Jul 28, 2018

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、磁気ゲージにおける2つの任意統計粒子のための自己随伴ハミルトニアンの1パラメータ族を、すべての可能な自己随伴拡張を網羅する閉かつ下に有界な二次形式の構成によって確立する。主な貢献は、径方向相互作用が存在する場合を含め、2粒子系の物理的実現の完全な分類を示したことにある。

ABSTRACT

We study the well-posedness of the Hamiltonian of a system of two anyons in the magnetic gauge. We identify all the possible quadratic forms realizing such an operator for non-interacting anyons and prove their closedness and boundedness from below. We then show that the corresponding self-adjoint operators give rise to a one-parameter family of extensions of the naive two-anyon Schrödinger operator. We finally extend the results in presence of a two-body radial interaction.

研究の動機と目的

• 磁気ゲージにおける分数統計を有する2粒子系のハミルトニアンを厳密に定義すること。
• 相対距離がゼロで特異性を示すアハラノフ＝ボームポテンシャルが導入された場合のハミルトニアンの適切な定式化を扱うこと。
• 2粒子系のナーミーなシュレーディンガー作用素のすべての可能な自己随伴拡張を分類すること。
• 適切な正則性仮定の下で、2体の径方向相互作用を含めた場合の分類を拡張すること。
• 特に分数量子ホール効果の文脈において、2粒子系の力学の数学的に厳密な枠組みを提供すること。

提案手法

• エネルギーを記述する一般化されたフレドリッヒス拡張を考慮した1パラメータ族の二次形式 $\mathcal{F}_{\alpha,\beta}$ を構成する。
• 各形式 $\mathcal{F}_{\alpha,\beta}$ が閉かつ下に有界であることを証明し、一意的な関連する自己随伴作用素の存在を保証する。
• フォン・ノイマンの自己随伴拡張理論を用いて、$\mathcal{F}_{\alpha,\beta}$ から得られる作用素が、対称作用素 $H_\alpha$ のすべての可能な自己随伴拡張を網羅することを示す。
• アハラノフ＝ボームポテンシャルを有するシュレーディンガー方程式の解の漸近的挙動とスペクトル解析を用いて、作用素の定義域を特徴付ける。
• 境界条件のパrametrizationのため、原点における特定の漸近的挙動を示す一般化された固有関数 $G_\lambda$ を導入する。
• 原点近傍で有界であると仮定することで、相互作用系への解析を拡張し、定義域の構造と形式の閉性が保たれることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 磁気ゲージにおけるアハラノフ＝ボーム型特異性を有する2任意統計粒子ハミルトニアンのすべての可能な自己随伴拡張は何か？
• RQ2 そのすべての自己随伴拡張を実現する1パラメータ族の二次形式をどのように構成できるか？
• RQ3 フレドリッヒス拡張は分類において果たす役割は何か？他の拡張とは物理的にどのように異なるか？
• RQ4 径方向2体相互作用の導入が自己随伴拡張問題および二次形式の構造に与える影響は何か？
• RQ5 相互作用ポテンシャル $V$ にどのような条件下で、自己随伴拡張の分類が有効であり、形式が閉かつ下に有界のままであるか？

主な発見

• すべての $\beta \in \mathbb{R}$ に対して、1パラメータ族の二次形式 $\mathcal{F}_{\alpha,\beta}$ は閉かつ下に有界であり、一意的な関連する自己随伴作用素の存在を保証する。
• $\mathcal{F}_{\alpha,\beta}$ から得られる自己随伴作用素は、フォン・ノイマン理論による証明により、対称作用素 $H\_\alpha$ のすべての可能な自己随伴拡張を網羅する。
• $\beta < 0$ の場合、ハミルトニアン $H_{\alpha,\beta}$ は離散固有値 $-\bar{\lambda}^2$ を持ち、$\bar{\lambda}$ は方程式 $\beta + \bar{\lambda}^{2\alpha} = 0$ を満たす。これは束縛状態に対応する。
• 各拡張の定義域は、波動関数と一般化された固有関数 $G_\lambda$ の原点における漸近的挙動を含む境界条件によって特徴付けられる。
• 相互作用系において、$V \in L^\infty([0,\varepsilon))$ であると仮定すると、形式 $\mathcal{F}_{\alpha,\beta,V}$ は依然として閉かつ下に有界であり、関連する作用素は $H_{\alpha,V}$ の自己随伴拡張である。
• 径方向相互作用の導入に対しても、定義域の構造と分類は安定であり、原点における特異性は相互作用ではなくアハラノフ＝ボームポテンシャルによって支配されるため、元の構造が保たれる。