[論文レビュー] Hamiltonicity is Hard in Thin or Polygonal Grid Graphs, but Easy in Thin Polygonal Grid Graphs

Erik D. Demaine, Mikhail Rudoy|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、正方形の多角形グリッドグラフおよびヘキサゴナルスリムグリッドグラフにおけるハミルトニアン性がNP完全であることを証明し、Arkinら（2007年）の2つの未解決問題を解決する。さらに、グリッドグラフがスリムかつ多角的である場合、ハミルトニアン性は多項式時間で解けることを示し、正方形、三角形、ヘキサゴナルグリッドのすべてのタイプにおいて、度制約付き頂点分割問題への還元を用いて、新たな tractable なケースを提供する。

ABSTRACT

In 2007, Arkin et al. initiated a systematic study of the complexity of the Hamiltonian cycle problem on square, triangular, or hexagonal grid graphs, restricted to polygonal, thin, superthin, degree-bounded, or solid grid graphs. They solved many combinations of these problems, proving them either polynomially solvable or NP-complete, but left three combinations open. In this paper, we prove two of these unsolved combinations to be NP-complete: Hamiltonicity of Square Polygonal Grid Graphs and Hamiltonicity of Hexagonal Thin Grid Graphs. We also consider a new restriction, where the grid graph is both thin and polygonal, and prove that Hamiltonicity then becomes polynomially solvable for square, triangular, and hexagonal grid graphs.

研究の動機と目的

• 制限付きグリッドグラフにおけるハミルトニアン性の複雑性に関する2つの未解決問題を解消すること、特に正方形の多角形グリッドグラフおよびヘキサゴナルスリムグリッドグラフについて。
• スリムおよび多角的グリッドグラフの2つの特殊ケースの交差におけるハミルトニアン性の複雑性を調査すること。
• 固体正方形グリッドグラフにおけるハミルトニアン性の多項式時間可解性が、ヘキサゴナル固体グリッドグラフへと拡張可能かどうかを特定すること。
• 幾何的および構造的制約の下で、ハミルトニアン性が依然として困難であるか、あるいは解ける状態に保たれるかを統一的に理解すること。

提案手法

• 変数および論理項のガジェットを用いた3-CNF充足可能性問題からの還元により、正方形の多角形グリッドグラフおよびヘキサゴナルスリムグリッドグラフにおけるハミルトニアン閉路の構築。状態が強制されたワイヤーを含む。
• 論理変数および論理項をシミュレートする専用の変数および論理項ガジェットの設計。2つの強制されたワイヤーは、真の変数割り当てに対応する。
• スリムな多角形グリッドグラフにおけるハミルトニアン性の多項式時間可解性の証明。特にヘキサゴナルグリッドにおいて、Max-Degree-3 Tree-Residue Vertex-Breaking問題への還元によるもの。
• サイクル結合技術および構造的解析を用いて、還元の正当性とハミルトニアン閉路拡張に対する閉包性を検証。
• グリッドグラフの種類の明確な定義：正方形、三角形、ヘキサゴナル。境界、内部、穴、ピクセル面の区別を含む。
• 充足可能性と構築されたグリッドグラフにおけるハミルトニアン閉路の存在の同値性を証明することで、答えを保つ還元を確立。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正方形の多角形グリッドグラフにおけるハミルトニアン性はNP完全であるか。これはArkinら（2007年）によって未解決のまま残されていた。
• RQ2 ヘキサゴナルスリムグリッドグラフにおけるハミルトニアン性はNP完全であるか。これは同様の研究におけるもう一つの未解決事項である。
• RQ3 スリムおよび多角的グリッドグラフの性質を併せ持つ場合、正方形、三角形、ヘキサゴナルグリッドの3つのグリッドタイプすべてにおいて、ハミルトニアン性が多項式時間で解けるか。
• RQ4 固体正方形グリッドグラフにおける多項式時間アルゴリズムが、ヘキサゴナル固体グリッドグラフへと適応可能か。これはArkinらが予想したものである。
• RQ5 どのような構造的性質が、制限付きグリッドグラフクラスにおける効率的なハミルトニアン閉路検出を可能または不可能にするか。

主な発見

• 正方形の多角形グリッドグラフにおけるハミルトニアン性はNP完全である。これはArkinら（2007年）が残した未解決問題を解決する。
• ヘキサゴナルスリムグリッドグラフにおけるハミルトニアン性はNP完全である。これは、かつて未解決であったこのケースの難易度を確認する。
• スリムな多角形グリッドグラフにおけるハミルトニアン性は、正方形、三角形、ヘキサゴナルグリッドの3つのグリッドタイプすべてで多項式時間で解ける。
• スリムな多角形グリッドにおける多項式時間可解性は、Max-Degree-3 Tree-Residue Vertex-Breaking問題への還元により達成され、特にヘキサゴナルグリッドにおいて効果的である。
• 3-CNFからグリッドグラフへの還元は答えを保ち、多項式時間で実行可能であり、2つの新しいNP完全ケースのNP完全性を確立する。
• 最終的な未解決問題であるヘキサゴナル固体グリッドグラフにおけるハミルトニアン性は、未解決のままであるが、著者らはそれが多項式時間で解けると予想している。