[論文レビュー] Hamiltonicity of the Cayley Digraph on the Symmetric Group Generated by {\sigma} = (1 2 ... n) and { au} = (1 2)

Aaron Williams|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2013

graph theory and CDMA systems参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、50年前の未解決問題を解決し、奇数の $n$ に対して、$S_n$ の有向ケイリーグラフにハミルトン閉路を構成した。このグラフは $n$-サイクル $\sigma = (1\;2\;\cdots\;n)$ と対称移動 $\tau = (1\;2)$ によって生成され、すべての $n$ に対してハミルトンパスを構成した。構成法は回転同値性と回転系に基づく局所的辺則を用い、$n-1$ 頂点のホイール構造に問題を還元し、サイクル被覆における $\tau$-辺の最小性を証明した。

ABSTRACT

The symmetric group is generated by {\sigma} = (1 2 ... n) and { au} = (1 2). We answer an open problem of Nijenhuis and Wilf by constructing a Hamilton path in the directed Cayley graph for all n, and a Hamilton cycle for odd n.

研究の動機と目的

• ニエンヘイズとウイルフが提起した、$\sigma = (1\;2\;\cdots\;n)$ と $\tau = (1\;2)$ を生成元とする $\mathrm{cayley}(S_n, \{\sigma, \tau\})$ の有向ケイリーグラフにおけるハミルトニアン性の未解決問題を解決すること。
• 奇数の $n$ に対してハミルトン閉路が存在すること、すべての $n$ に対してハミルトンパスが存在することを証明すること。これは、$n \geq 4$ の偶数に対してハミルトン閉路が存在しないという既知の障害を考慮しても成り立つ。
• $n$ とその右隣の記号の位置に基づく、シンプルで局所的なルールを用いて、これらの閉路とパスを構成する方法を提供すること。
• サイクル被覆における $\tau$-辺の数を最小化し、$C_1(n)$ と $C_2(n)$ が、それぞれの閉路と被覆において可能な限り少ない $\tau$-辺数を使用していることを示すこと。

提案手法

• 各順列 $p$ に対して、$n$ の位置とその直後に続く記号に基づき、$p$ に入る辺（$\tau$ または $\sigma^{-1}$）を局所的ルールで定義し、$C_1(n)$ と $C_2(n)$ を定義する。
• 特に $\sigma^n$ と $(\tau\sigma^{-1})^{n-1}$ の形のサイクルの対称差に注目し、回転系を用いてサイクルの構造をモデル化する。
• スポークパスの平滑化と回転系における辺の順序の解析により、複雑なサイクル系を $n-1$ 頂点のホイールグラフ構造に還元する。
• 還元された系 $W_1(n)[U]$ が $(n-1)$-ホイールグラフの回転系と一致することを示し、すべての頂点が正確に一度だけカバーされることを保証することで、正しさを証明する。
• 回転に関する一貫した同値類の概念を用い、1つの記号を欠いた順列をその巡回表現に関連付ける。
• 元の系と還元された系における頂点の巡回順序を比較することで、最終的な系における辺の順序を検証し、重複や欠落がないことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有向ケイリーグラフ $\mathrm{cayley}(S_n, \{\sigma, \tau\})$ は、奇数の $n$ に対してハミルトン閉路をもつか？
• RQ2 すべての $n$（偶数を含む）に対して、このグラフにハミルトンパスを構成できるか？
• RQ3 このグラフにおけるハミルトン閉路またはサイズ2のサイクル被覆において、$\tau$-辺は最小でいくつ必要か？
• RQ4 この構成は、順列における $n$ 及びその直後の記号の位置に基づくシンプルで局所的なルールで表現できるか？
• RQ5 得られるサイクル被覆の構造は、可能な限り木に近いか？複雑性を最小化しているか？

主な発見

• 奇数のすべての $n$ に対して、$G(n)$ にハミルトン閉路 $C_1(n)$ が存在し、クヌースによる難易度評価 48/50 の50年前の未解決問題を解決した。
• すべての $n$ に対してハミルトンパス $P(n)$ が存在し、$n$ が偶数のときハミルトン閉路が不可能な状況に対しても解決を提供した。
• すべての $n$ に対してサイズ2のサイクル被覆 $C_2(n)$ が存在し、$n$ が奇数のときこれはハミルトン閉路に一致する。
• $C_1(n)$ と $C_2(n)$ は、それぞれの閉路および被覆において、$G(n)$ 内で可能な限り少ない $\tau$-辺数を使用している。
• サイクル $\sigma^n$ と $(\tau\sigma^{-1})^{n-1}$ の対称差は、$n-1$ 頂点のホイール構造に簡略化され、この解決法の位相的単純性を説明している。
• 最終的な回転系 $W_1(n)[U]$ は、$(n-1)$-ホイールグラフの回転系と同型であり、サイクル被覆の正しさが裏付けられた。