[論文レビュー] Handbook Article on Applications of Random Matrix Theory to QCD

J. J. M. Verbaarschot|ArXiv.org|Oct 21, 2009

Random Matrices and Applications参考文献 53被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、QCDディラック作用素の微視的スペクトル的性質がゼロおよび非ゼロの化学ポテンシャルにおいて、ねじれランダム行列理論（chRMT）が普遍的な枠組みとして機能することを確立する。ディラックスペクトルをグローバルなねじれ対称性を持つランダム行列集合へ写像することで、スペクトル相関と低エネルギーQCD定数（ねじれ凝集体積Σとパイオンの崩壊定数F）の正確な関係を導出し、格子QCD固有値データからそれらを抽出可能にする。

ABSTRACT

In this chapter of the Oxford Handbook of Random Matrix Theory we introduce chiral Random Matrix Theories with the global symmetries of QCD. In the microscopic domain, these theories reproduce the mass and chemical potential dependence of QCD. The main focus of this chapter is on the spectral properties of the QCD Dirac operator and relations between chiral Random Matrix Theories and chiral Lagrangians. Both spectra of the anti-hermitian Dirac operator and spectra of the nonhermitian Dirac operator at nonzero chemical potential are discussed.

研究の動機と目的

• QCDにおける低エネルギーDiracスペクトルの普遍的記述としてねじれランダム行列理論（chRMT）を確立すること。
• ディラック作用素のスペクトル相関を、低エネルギー定数Σ（ねじれ凝集体積）およびF（パイオンの崩壊定数）に結びつけること。
• ディラック作用素が非エルミート的になる非ゼロ化学ポテンシャル領域へのchRMTの拡張。このとき、スペクトル的性質はΣおよびFに依存する。
• 可積分性技法および双直交多項式を用いて微視的領域における正確なスペクトル相関関数を導出すること。
• 虚数化学ポテンシャルにおけるパrametric相関が、静的スペクトル相関とは異なり、ΣおよびFの両方を入力パrameterとして必要とすることを示すこと。

提案手法

• QCDと一致するグローバルなねじれ対称性を持つchRMTアンサンブルを、反エルミート的および非エルミート的ランダム行列を用いて定式化する。
• 生成関数 $ Z_n(z) = \langle \det^n(D+z) \det^n(z-D) \rangle $ のレプリカ極限を用いて、リゾルベントおよびスペクトル密度を計算する。
• Banks-Casherの公式 $ \rho(0) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{\pi} \text{Re } G(\epsilon/2) $ を用いて、ゼロ固有値におけるスペクトル密度をねじれ凝集体積に関連付ける。
• Toda格子方程式および双直交多項式法を用いて、非ゼロ化学ポテンシャルにおけるスペクトル相関関数を計算する。
• μ≠0における分配関数およびスペクトル密度の微視的極限を導出し、N→∞、μ→0、m→0の極限で普遍性を示す。
• Eguchi-Kawaiモデルおよび群積分を用いてゲージ自由度を研究し、2次元ヤン・ミルズ理論におけるウィルソンループの固有値分布とRMTを関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ねじれランダム行列理論は、微視的領域においてQCDの質量および化学ポテンシャル依存性をどのように再現するか？
• RQ2 ディラック作用素のスペクトル相関関数と低エネルギー定数ΣおよびFとの間の正確な関係は何か？
• RQ3 非ゼロ化学ポテンシャルにおいて、ディラック作用素が非エルミート的になると、スペクトル的性質はどのように変化するか？
• RQ4 異なる化学ポテンシャル間の固有値相関であるパラメトリック相関は、2つの低エネルギー定数を決定するために果たす役割は何か？
• RQ5 可積分性技法を用いて、非ゼロμにおける微視的スペクトル密度を正確に導出できるか？

主な発見

• ゼロ固有値におけるスペクトル密度は、Banks-Casherの公式によりねじれ凝集体積に直接関連づけられ、これが自発的ねじれ対称性の破れのオーダーパラメータであるΣを確立する。
• ゼロ化学ポテンシャルにおいて、低エネルギーDiracスペクトルはねじれ凝集体積Σによって完全に決定され、微視的極限においてスペクトル相関は普遍的である。
• 非ゼロ化学ポテンシャルにおいて、ディラックスペクトルは複素平面上に帯状に分布し、スペクトル的性質はΣおよびFに依存する。この帯の幅はFによって決定される。
• μ≠0における微視的スペクトル密度は、可積分性を用いて正確に導出され、ΣおよびFに普遍的な依存性を示し、格子QCDデータと一致する。
• 虚数化学ポテンシャルにおけるパラメトリック相関は、静的スペクトル相関とは異なり、ΣおよびFの両方を入力パrameterとして必要とする。
• μ≠0におけるchRMTの分配関数は可積分的であり、Toda格子方程式または双直交多項式を用いて計算可能で、正確な相関関数をもたらす。