[論文レビュー] Hankel Determinants of sequences related to Bernoulli and Euler Polynomials

Karl Dilcher, Lin Jiu|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2020

Advanced Mathematical Identities参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、直交多項式およびそれらの導関数との関係を用いて、ベルヌーイ多項式およびオイラー多項式に関連する数列のハンケル行列式を評価する。新たな閉形式の評価を導出し、例えば $ H_{2m+1}(kE_{k-1}) = (-1)^{m+1}2^{4m(m+1)}\prod_{\ell=1}^{m}\ell!^8 $ を含む、既知および新規の恒等式を体系的に整理する。

ABSTRACT

We evaluate the Hankel determinants of various sequences related to Bernoulli and Euler numbers and special values of the corresponding polynomials. Some of these results arise as special cases of Hankel determinants of certain sums and differences of Bernoulli and Euler polynomials, while others are consequences of a method that uses the derivatives of Bernoulli and Euler polynomials. We also obtain Hankel determinants for sequences of sums and differences of powers and for generalized Bernoulli polynomials belonging to certain Dirichlet characters with small conductors. Finally, we collect and organize Hankel determinant identities for numerous sequences, both new and known, containing Bernoulli and Euler numbers and polynomials.

研究の動機と目的

• ベルヌーイおよびオイラー多項式に関連する数列のハンケル行列式の新たな閉形式評価を導出すること。
• ベルヌーイおよびオイラー多項式の導関数に基づく手法を導入することで、既知の結果を拡張すること。
• ベルヌーイ数およびオイラー数、およびそれらの特別値を含むハンケル行列式の既存および新規の恒等式を統一的かつ体系的に整理すること。
• 特殊数列の文脈において、ハンケル行列式、直交多項式、連分数の関係を調査すること。
• ディリクレ指標および高階オイラー数に関連する一般化された数列に対しても、体系的な評価を提供すること。

提案手法

• 数列構築の基盤として、ベルヌーイおよびオイラー多項式の母関数を用いる。
• ハンケル行列式問題を扱いやすい代数的形に変換するため、導関数に基づく手法を適用する。
• ハンケル行列式の評価に、古典的直交多項式および連分数との関係を活用する。
• 一般化された恒等式においてベルヌーイ数を表す記号 $ \mathcal{B}^j $ のような記号的表記を用いる。
• 既知の先行研究の結果（例：[6], [8], [9]）を用いて、代数的変形および代入により新たな恒等式を導出する。
• ベルヌーイおよびオイラー多項式の反射性および対称性の性質を応用し、行列式の式を簡略化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同じ添え字を持つベルヌーイ多項式の和および差からなる数列のハンケル行列式はどのように評価できるか？
• RQ2 ベルヌーイおよびオイラー多項式の導関数を用いて、新たなハンケル行列式の恒等式をどのように導出できるか？
• RQ3 小径のディリクレ指標に関連する一般化ベルヌーイ多項式のハンケル行列式はどのように評価できるか？
• RQ4 数列 $ kE_{k-1} $ のハンケル行列式はどのように振る舞い、どのような閉形式の式が導出可能か？
• RQ5 オイラー数のハンケル行列式と、組合せ的に定義された数列 $ \mathbf{E}_n $ のハンケル行列式との関係は何か？また、両者の間で恒等式をどのように移行できるか？

主な発見

• オイラー数のハンケル行列式 $ H_n(E_k) $ は、$ (-1)^{\binom{n+1}{2}}\prod_{\ell=1}^{n}\ell!^2 $ に等しく、既知の結果であり、確認され、文脈づけられた。
• 数列 $ kE_{k-1} $ については、奇数次のハンケル行列式が $ H_{2m+1}(kE_{k-1}) = (-1)^{m+1}2^{4m(m+1)}\prod_{\ell=1}^{m}\ell!^8 $ に等しく、偶数次の行列式は 0 に等しい。
• 因子計および累乗を含む、一般化された恒等式 $ H_n(\mathcal{B}^{k+2}({\mathcal{B}}+1)_{a-1}({\mathcal{B}}+1)_{b-1}(-{\mathcal{B}}+1)_{c-1}(-{\mathcal{B}}+1)_{d-1}) $ のハンケル行列式が導出された。
• 小径のディリクレ指標を伴う一般化ベルヌーイ多項式に対しても、ハンケル行列式が成功裏に評価された。
• 組合せ的数列 $ \mathbf{E}_n $ と古典的オイラー数の間の橋渡しを確立し、ハンケル行列式の恒等式の移行を可能にした。
• ハーン [9] および フルメクとクレットエンターラー [8] の結果を確認し、特に $ \mathbf{E}_k $ および $ \mathbf{E}_k/(k)! $ を含む混合数列について、拡張した。