[論文レビュー] Hankel matrices acting on the Hardy space $H^1$ and on Dirichlet spaces

Daniel Girela, Noel Merchán|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2018

Holomorphic and Operator Theory参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、[0,1) 上の有限正のボレル測度 μ によって誘導されるハンケル行列について、その作用がハーディー空間 $H^1$ およびディリクレ型空間に与える影響を分析する。測度 μ が 1-対数的 1-カルレソン測度である場合、ハンケル作用素が $H^1$ を $π^1_0$ に写像することを証明しており、一般化されたヒルベルト作用素の有界性および値域に関する既知の結果を拡張している。

ABSTRACT

If $\,μ\,$ is a finite positive Borel measure on the interval $\,[0,1)$, we let $\,\mathcal H_μ\,$ be the Hankel matrix $\,(μ_{n, k})_{n,k\ge 0}\,$ with entries $\,μ_{n, k}=μ_{n+k}$, where, for $\,n\,=\,0, 1, 2, \dots $, $μ_n\,$ denotes the moment of order $\,n\,$ of $\,μ$. This matrix induces formally the operator $\,\mathcal{H}_μ(f)(z)= \sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^{\infty} μ_{n,k}{a_k} ight)z^n\,$ on the space of all analytic functions $\,f(z)=\sum_{k=0}^\infty a_kz^k\,$, in the unit disc $\,\mathbb D $. When $\,μ\,$ is the Lebesgue measure on $\,[0,1)\,$ the operator $\,\mathcal H_μ\,$ is the classical Hilbert operator $\,\mathcal H\,$ which is bounded on $\,H^p\,$ if $\,1

研究の動機と目的

• 有限正のボレル測度 μ を持つ [0,1) 上で、ハンケル行列 $\mathcal{H}_\mu$ がハーディー空間 $H^1$ に与える作用を特徴付けること。
• 0 < α < 1 に対して μ が α-対数的 1-カルレソン測度であるとき、$\mathcal{H}_\mu$ の $H^1$ 上での正確な値域を特定すること。
• バーグマン空間およびディリクレ型空間、特に $\mathcal{D}^p_\alpha$ 上での $\mathcal{H}_\mu$ の有界性および写像性質を研究すること。
• 1 < p < ∞ では有界であるが $H^1$ では有界でない古典的ヒルベルト作用素 $\mathcal{H}$ の既知の結果を、その作用がコーシー変換空間およびディリクレ空間へ及ぼす影響を分析することで拡張すること。

提案手法

• 著者らは、モーメント $\mu_{n,k} = \mu_{n+k}$ を用いてハンケル行列 $\mathcal{H}_\mu$ を定義し、形式的な行列乗算により解析関数への作用を誘導する。
• $H^1$ とブロッホ空間の双対性、および $A^1_\alpha$ が小さなブロッホ空間の双対として同定されることを用い、積分ペアリングを通じて有界性を分析する。
• 主な技術的道具は、$\mathcal{I}_\mu f(z) = \int_0^1 \frac{f(t)}{1 - tz} dt$ のような積分表現であり、$f \in H^1$ の場合、これは $\mathcal{H}_\mu f$ に一致する。
• Hölder の不等式および最大関数 $M_\infty(t,f)$ を用いた推定を適用し、ディリクレ空間における導関数の $L^p$-ノルムを評価する。
• 証明は、カルレソン測度および α-カルレソン測度に関する既知の結果に依拠しており、特に μ が 1-対数的 1-カルレソン測度である場合、$\nu(t) = (1-t)^\alpha \mu(t)$ がカルレソン測度であるという事実を用いる。
• ブロッホ空間から $L^\infty$ への作用素 $T\phi(\xi) = (1-|\xi|^2)^{-\alpha} \int_\mathbb{D} \frac{(1-|z|^2)^\alpha \phi(z)}{(1 - \xi \bar z)^2} dA(z)$ の有界性を用いて、積分ペアリングを制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測度 μ がどのような条件下で、ハンケル作用素 $\mathcal{H}_\mu$ が $H^1$ からディリクレ空間 $\mathcal{D}^1_0$ への有界作用素となるか。
• RQ2 $\mu$ が $0 < \alpha < 1$ に対して α-対数的 1-カルレソン測度であるとき、$\mathcal{H}_\mu$ の $H^1$ 上での正確な値域は何か。
• RQ3 $\mu$ がカルレソン測度で $-1 < \alpha < 0$ のとき、作用素 $\mathcal{H}_\mu$ は $\mathcal{D}^1_\alpha$ から自身へ有界であるか。
• RQ4 定理6の逆は成り立つか。すなわち、$\mathcal{H}_\mu$ が $\mathcal{D}^1_\alpha$ 上で有界であるならば、μ は必然的にカルレソン測度であるか。

主な発見

• μ が 1-対数的 1-カルレソン測度である場合、$\mathcal{H}_\mu$ は $H^1$ をディリクレ空間 $\mathcal{D}^1_0$ に写像する。
• $\mu$ が $0 < \alpha < 1$ に対して α-対数的 1-カルレソン測度であるとき、$\mathcal{H}_\mu$ の $H^1$ 上での値域は $\mathcal{D}^1_0$ に含まれる。
• $\mu$ がカルレソン測度であるとき、$\mathcal{H}_\mu$ は $-1 < \alpha < 0$ に対して $\mathcal{D}^1_\alpha$ から自身へ有界な作用素である。
• μ がカルレソン測度であるとき、双対ペアリング $\langle h, \mathcal{I}_\mu f \rangle$ は $\|h\|_{\mathcal{B}} \|f\|_{\mathcal{D}^1_\alpha}$ で有界であり、双対性による有界性が確立される。
• $\mathcal{D}^1_\alpha$ のすべての $f$ に対して不等式 $\sum_{n=0}^\infty |a_n| (n+1)^{-(1+\alpha)} \lesssim \|f\|_{\mathcal{D}^1_\alpha}$ が成り立つが、$p=1$ の場合、逆不等式は確立されていない。