[論文レビュー] Hankel Operators in Several Complex Variables and Product $BMO\zProd$

Michael T. Lacey, Erin Terwilleger|ArXiv.org|Oct 21, 2003

Holomorphic and Operator Theory参考文献 12被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、小ハンケル作用素の有界性を、その記号の解析的ハーディー空間への射影の積分BMOノルムと等価であることを示すことにより、$n$-複素変数において確立する。証明は、一般化されたJourné型補題に基づく帰納的議論を用い、2変数におけるFergusonとLaceyの結果を任意次元に拡張する。これにより、$H^1$空間におけるコンmutator推定と弱因子分解への応用が得られる。

ABSTRACT

$H^2\zProd$ denotes the Hardy space of square integrable functions analytic in each variable separately. Let $P^{\ominus}$ be the natural projection of $L^2\zProd$ onto $\z8{H^2\zProd}$. A Hankel operator with symbol $b$ is the linear operator from $H^2\zProd$ to $\z8{H^2\zProd}$ given by $H_b \zvf=P^{\ominus}\bar b \zvf$. We show that \md0 orm H_b ..\simeq orm P^{\oplus}b.BMO\zProd., \emd where the right hand norm is S.-Y. Chang and R. Fefferman product $BMO$. This fact has well known equivalences in terms of commutators and the weak factorization of $H^1\zProd$. In the case of two complex variables, this is due to Ferguson and Lacey \cite{MR1961195}. While the current proof is inductive, and one can take the one complex variable case as the basis step, it is heavily influenced by the methods of Ferguson and Lacey. The induction is carried out with a particular form of a lemma due to Journé \cite{MR87g:42028}, which occurs implicitly in the work of J. Pipher \cite{MR88a:42019}.

研究の動機と目的

• 2変数から$n$複素変数へのハンケル作用素有界性の特徴づけを拡張すること。
• ハンケル作用素の作用素ノルムとその記号の射影の積分BMOノルムとの等価性を確立すること。
• 1変数のNehari型定理を、帰納的技法を用いて高次元積分ドメインに一般化すること。
• 積分ドメイン上のハンケル作用素、コンmutator、および$H^1$空間における弱因子分解を結びつける統一的枠組みを提供すること。

提案手法

• 証明は、複素変数の数に関する帰納法に基づき、FergusonとLaceyの2変数結果を初期段階として用いる。
• 一般化されたJourné型補題を帰納的に適用し、積分ドメイン内の長方形のサイズと構造を制御する。
• 長方形$R$に対して、測度拡張を制御し、座標間の一様性を保証する埋め込み関数$\operatorname{emb}(R)$を定義する。
• 下位座標における長方形の反復的拡張にパラメータ$\gamma$を用い、集合のシャドウを制御する。
• 各座標におけるdyadic分解と、最大関数の弱$ L^1 $ノルムを用いて、拡張された集合の測度を推定する。
• 主要な推定では、$\sum_{R\in\mathcal{U}} \operatorname{emb}(R)^{-(n+\epsilon)} |\langle b, v_R \rangle|^2$ の和を、$b$ の$BMO_{-1}$ノルムの二乗で上から抑え、$BMO$ノルムの制御を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小ハンケル作用素$H_b$の有界性の明確な特徴づけは何か？
• RQ2 積分BMOノルムは、高次元におけるハンケル作用素の作用素ノルムとどのように関係するか？
• RQ3 FergusonとLaceyの2変数結果は、帰納的技法によって$n$変数に拡張可能か？
• RQ4 Journé型補題は、積分ドメインにおける長方形の幾何的構造をどのように制御するか？
• RQ5 コンmutator推定と$H^1$空間における弱因子分解は、ハンケル作用素の有界性とどのように関係するか？

主な発見

• ハンケル作用素$H_b$の作用素ノルムは、$P^\oplus b$の積分BMOノルムと等価である。すなわち、$\|H_b\| \simeq \|P^\oplus b\|_{BMO(\otimes_{1}^{n}\mathbb{C}_{+})}$。
• この等価性は、2変数の場合を一般化する帰納的議論により確立され、1変数の場合が初期段階となる。
• 長方形集合$\mathcal{U}$のシャドウを含む集合$V$を構成し、$|V| \leq (1+\delta)|\operatorname{sh}(\mathcal{U})|$ を満たすことで、測度拡張を制御する。
• 任意の$\epsilon, \delta > 0$ に対して、和$\sum_{R\in\mathcal{U}} \operatorname{emb}(R)^{-(n+\epsilon)} |\langle b, v_R \rangle|^2$ は、$K_{\delta,\epsilon} \|b\|_{BMO_{-1}(\otimes_{1}^{n}\mathbb{C}_{+})}^2$ で上から抑えられ、これにより$BMO$ノルムの制御が可能になる。
• この結果から、コンmutator $C_b = [[\cdots[M_b, H_1], H_2], \cdots, H_n]$ に対して $\|C_b\|_{L^2} \simeq \|b\|_{BMO(\otimes_{1}^{n}\mathbb{C}_{+})}$ が成り立つ。
• 弱因子分解$H^1(\otimes_{1}^{n}\mathbb{C}_{+}) = H^2(\otimes_{1}^{n}\mathbb{C}_{+}) \widehat{\odot} H^2(\otimes_{1}^{n}\mathbb{C}_{+})$ は、主定理の直接的帰結である。