[論文レビュー] Hankel Tensors: Associated Hankel Matrices and Vandermonde Decomposition

Liqun Qi|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2013

Tensor decomposition and applications参考文献 8被引用数 7

ひとこと要約

この論文はヘンケルテンソルを導入し、ヘンケル行列、平面テンソル、バーデモンデコンポジションとの関連を確立する。m次n次元テンソルがヘンケルテンソルであるための必要十分条件は、それがバーデモンデコンポジションを許容することであることを証明し、そのような分解における正定値性および非負係数を用いて強いヘンケルテンソルと完全なヘンケルテンソルを特徴づける。主な結果として、偶数次元の強いヘンケルテンソルおよび完全なヘンケルテンソルは正半定値であり、それらのハダマード積はこれらの性質を保つことが示される。

ABSTRACT

Hankel tensors arise from applications such as signal processing. In this paper, we make an initial study on Hankel tensors. For each Hankel tensor, we associate it with a Hankel matrix and a higher order two-dimensional symmetric tensor, which we call the associated plane tensor. If the associated Hankel matrix is positive semi-definite, we call such a Hankel tensor a strong Hankel tensor. We show that an $m$ order $n$-dimensional tensor is a Hankel tensor if and only if it has a Vandermonde decomposition. We call a Hankel tensor a complete Hankel tensor if it has a Vandermonde decomposition with positive coefficients. We prove that if a Hankel tensor is copositive or an even order Hankel tensor is positive semi-definite, then the associated plane tensor is copositive or positive semi-definite, respectively. We show that even order strong and complete Hankel tensors are positive semi-definite, the Hadamard product of two strong Hankel tensors is a strong Hankel tensor, and the Hadamard product of two complete Hankel tensors is a complete Hankel tensor. We show that all the H-eigenvalue of a complete Hankel tensors (maybe of odd order) are nonnegative. We give some upper bounds and lower bounds for the smallest and the largest Z-eigenvalues of a Hankel tensor, respectively. Further questions on Hankel tensors are raised.

研究の動機と目的

• 信号処理およびテンソルの応用分野に現れるヘンケルテンソルの基礎的性質を確立すること。
• 各ヘンケルテンソルに対して関連するヘンケル行列および平面テンソルを定義し、それらを分析すること。
• 正半定値性および非負のバーデモンデコンポジション係数を用いて、強いヘンケルテンソルおよび完全なヘンケルテンソルを特徴づけること。
• ヘンケルテンソルの固有値の上限・下限および非負定値性条件を調査すること。
• ヘンケルテンソル構造および計算に関するさらなる研究のためのアルゴリズムと未解決の問題を提案すること。

提案手法

• 各ヘンケルテンソルに対して、ヘンケル行列および対称的平面テンソル（次数 (n−1)m、次元2）を関連付ける。
• ヘンケルテンソルの生成関数を定義し、その非負性が強いヘンケルテンソルを特徴づけることを証明する。
• バーデモンデコンポジションを用いて、テンソルがヘンケルテンソルであるための必要十分条件が、そのような分解を許容することであることを示す。
• 最適化技法を用いて、区間[0,1]上での単変数多項式の最小化により、平面テンソルの非負定値性を検証する。
• 固有値解析およびノルム不等式を用いて、ヘンケルテンソルのZ固有値の上限および下限を導出する。
• 対称性およびテンソル代数を活用して、強いヘンケルテンソルおよび完全なヘンケルテンソルがハダマード積に関して閉じていることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヘンケルテンソルの最大および最小のH固有値（Z固有値）は、効率的に計算可能か？
• RQ2 ヘンケルテンソル、強いヘンケルテンソル、完全なヘンケルテンソルの最小H固有値を計算する計算量の複雑さは何か？
• RQ3 文献[9]の命題8の逆（非負の主小行列式の行列式が正定値性を示すこと）は、ヘンケルテンソルに対しても成り立つか？
• RQ4 無限次元ヘンケルテンソルおよび多重線形ヘンケル作用素は、無限次元ヘンケル行列と同様に研究されるべきか？
• RQ5 ヘンケルテンソル構造における固有値計算のための効率的アルゴリズムを構築可能か？

主な発見

• m次n次元テンソルがヘンケルテンソルであるための必要十分条件は、それがバーデモンデコンポジションを許容することである。
• ヘンケルテンソルが強いことと、関連するヘンケル行列が正半定値であることとは同値である。
• 偶数次元の強いヘンケルテンソルは正半定値であり、偶数次元の完全なヘンケルテンソルはすべての非負のH固有値を持つ。
• 2つの強いヘンケルテンソルのハダマード積は強いヘンケルテンソルであり、2つの完全なヘンケルテンソルのハダマード積は完全なヘンケルテンソルである。
• ヘンケルテンソルが非負定値であるか、偶数次元ヘンケルテンソルが正半定値であるならば、それぞれその関連する平面テンソルも非負定値または正半定値である。
• ノルムおよび固有値の不等式を用いて、ヘンケルテンソルの最小および最大Z固有値の上限および下限が導出された。