[論文レビュー] Hardness of discrepancy computation and epsilon-net verification in high dimension

Panos Giannopoulos, Christian Knauer+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2011

Mathematical Approximation and Integration参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、高次元幾何的範囲空間における不一致の計算とεネットの検証が、次元dに関してW[1]-困難であることを証明しており、標準的な複雑性仮定のもとでは、固定パラメータ可 tractable（FPT）なアルゴリズムは存在しないことを示している。結果として、これらの問題は、3-SATが2^{o(n)}時間で解けると仮定しない限り、n^{Ω(d)}時間が必要であることが示され、高次元における効率的計算の根本的な限界を確立する。

ABSTRACT

Discrepancy measures how uniformly distributed a point set is with respect to a given set of ranges. There are two notions of discrepancy, namely continuous discrepancy and combinatorial discrepancy. Depending on the ranges, several possible variants arise, for example star discrepancy, box discrepancy, and discrepancy of half-spaces. In this paper, we investigate the hardness of these problems with respect to the dimension d of the underlying space. All these problems are solvable in time {n^O(d)}, but such a time dependency quickly becomes intractable for high-dimensional data. Thus it is interesting to ask whether the dependency on d can be moderated. We answer this question negatively by proving that the canonical decision problems are W[1]-hard with respect to the dimension. This is done via a parameterized reduction from the Clique problem. As the parameter stays linear in the input parameter, the results moreover imply that these problems require {n^Ω(d)} time, unless 3-Sat can be solved in {2^o(n)} time. Further, we derive that testing whether a given set is an ε-net with respect to half-spaces takes {n^Ω(d)} time under the same assumption. As intermediate results, we discover the W[1]-hardness of other well known problems, such as determining the largest empty star inside the unit cube. For this, we show that it is even hard to approximate within a factor of {2^n}.

研究の動機と目的

• 高次元幾何的範囲空間における不一致の計算とεネットの検証が、次元dに関して効率的に解けるかどうかを明らかにすること。
• これらの問題が次元dをパrameterとする固定パラメータ可 tractable（FPT）アルゴリズムを有するかどうかを調査すること。
• 標準的な複雑性理論的仮定のもとで、これらの問題の計算下界を確立すること。
• 最大空のスターモノイドなどの関連幾何問題の近似不可能性を調査すること。
• 次元dへの依存性が、現在のアルゴリズムの限界ではなく、本質的に必要不可欠であることを示すこと。

提案手法

• クリーク問題からの固定パラメータ還元を用いて、高次元における不一致の計算とεネット検証のW[1]-困難性を証明する。
• クリーク問題のインスタンスを範囲空間の性質を介してd次元単位立方体内の幾何的点集合として符号化する。
• Koksma–Hlawkaの不等式および半空間、ボックス、凸集合の構造を活用し、クリークの存在を幾何的表現で模倣する。
• 点集合を変換して、大きな空のボックスや範囲が元のグラフにおけるクリークに対応するように保証する。
• 立方体、凸集合、半空間など、異なる範囲空間に一般化するため、構成を適応する。
• ある集合Sがεネットでないのは、Sに属する点が1つも含まれない範囲がε|P|個の点を含む場合に限ることを活用し、これにより大きな空の範囲の存在と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元幾何的範囲空間における不一致の計算は、次元dに関してFPT時間で解けるか？
• RQ2 高次元における半空間に関して、与えられた集合がεネットであるかを検証するFPTアルゴリズムは存在するか？
• RQ3 d次元単位立方体における最大空のスターモノイドを求める問題の計算複雑性は何か？
• RQ4 次元をパラメータとする場合、点集合のスターディスcrepancyを定数因子の範囲内でFPT時間で近似できるか？
• RQ5 W[1]-困難性の結果が、高次元における数値積分や幾何最適化のための効率的アルゴリズムの存在に与える影響は何か？

主な発見

• スターディスクリパンシー、ボックスディスクリパンシー、半空間ディスクリパンシーの決定問題は、次元dに関してW[1]-困難である。
• 標準的な複雑性仮定のもとでは、これらの問題は3-SATが2^{o(n)}時間で解けると仮定しない限り、n^{Ω(d)}時間が必要である。
• d次元単位立方体における最大空のスターモノイドを求める問題はW[1]-困難であり、2^nの要因内で近似不可能である。
• 半空間に関して、ある集合がεネットであるかを検証する問題は、次元dに関してW[1]-困難である。
• これらの困難性結果は、立方体、凸集合、および自由なボックスを含む他の幾何的範囲空間にも拡張可能である。
• FPT ≠ W[1]という仮定のもとで、これらの問題に対してFPTアルゴリズムは存在しないことが示され、高次元における効率的計算の根本的限界を確立する。