[論文レビュー] Hardness of permutation pattern matching

Vít Jelínek, Jan Kynčl|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2017

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ひとこと要約

本稿は、パターン π が長さ 3 の単調減少部分列を回避し、テキスト τ が長さ 4 の単調減少部分列を回避する場合でさえも、順列パターンマッチング（PPM）が NP-完全であることを確立している。これは、順列の真の遺伝的クラス内で知られる最初の NP 困難性結果である。さらに、パターン π が単一の順列 α を回避する場合に制限された PPM に対して、完全な複雑度二分法を確立し、α ∈ {1, 12, 21, 132, 213, 231, 312} の場合に多項式時間で解けることを示し、それ以外の場合は NP-完全であることを示している。

ABSTRACT

Permutation Pattern Matching (or PPM) is a decision problem whose input is a pair of permutations π and τ, represented as sequences of integers, and the task is to determine whether τ contains a subsequence order-isomorphic to π. Bose, Buss and Lubiw proved that PPM is NP-complete on general inputs.We show that PPM is NP-complete even when π has no decreasing subsequence of length 3 and τ has no decreasing subsequence of length 4. This provides the first known example of PPM being hard when one or both of π and σ are restricted to a proper hereditary class of permutations.This hardness result is tight in the sense that PPM is known to be polynomial when both π and τ avoid a decreasing subsequence of length 3, as well as when π avoids a decreasing subsequence of length 2. The result is also tight in another sense: we will show that for any hereditary proper subclass C of the class of permutations avoiding a decreasing sequence of length 3, there is a polynomial algorithm solving PPM instances where π is from C and τ is arbitrary.We also obtain analogous hardness and tractability results for the class of so-called skew-merged patterns.From these results, we deduce a complexity dichotomy for the PPM problem restricted to π belonging to Av(α), where Av(α) denotes the class of permutations avoiding a permutation α. Specifically, we show that the problem is polynomial when α is in the set {1, 12, 21, 132, 213, 231, 312}, and it is NP-complete for any other α.

研究の動機と目的

• 特定の遺伝的クラスに制限された順列パターンマッチング（PPM）の計算複雑性を同定すること。
• パターン π およびテキスト τ に構造的制約を課した場合の、PPM の tractable と intractable なインスタンスの正確な境界を特定すること。
• パターン π が Av(α) に属する場合に制限された PPM に対する完全な複雑度二分法を確立すること。
• Av(α) に制限された場合に PPM が多項式時間で解けるようなすべての順列 α を特徴付けること。
• 任意の Av(321) の真の遺伝的部分クラス C に対して、π ∈ C かつ τ が任意の場合に PPM が多項式時間で解けることを示すことにより、NP 困難性結果のタイトネスを示すこと。

提案手法

• 3-Partition 問題への還元を用いて、制限されたパターンおよびテキスト制約下での PPM の NP 完全性を証明する。
• 特に Av(321) および Av(4321) のクラスに注目し、長い単調減少部分列を回避する順列の構造的性質の利用。
• スケイ・マージド順列の概念の応用により、硬度および tractability の結果をより広いクラスへ拡張する。
• 動的計画法および構造的分解を活用して、Av(321) の任意の真の遺伝的部分クラスに属する π に対して PPM の多項式時間アルゴリズムを構築する。
• 遺伝的クラスの閉包性質とそれらが PPM の複雑性に与える影響の分析。
• 極値組合せ論および禁止部分列解析を用いた、PPM が Av(α) 内で多項式時間で解けるような順列 α の集合の形式的特徴付け。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 π と τ がともに長さ 3 の単調減少部分列を回避する場合、PPM は NP 完全であるか、それともこの場合に多項式時間で解けるか？
• RQ2 Av(321) が π のクラスで Av(4321) が τ のクラスであるような、順列の真の遺伝的クラス内で PPM の NP 完全性を確立できるか？
• RQ3 Av(α) に制限された場合に PPM が多項式時間で解けるような、正確な順列 α の集合は何か？
• RQ4 NP 完全性の結果は、制約をさらに緩和すると tractability に変わるという意味でタイトか？
• RQ5 π が Av(321) の任意の真の遺伝的部分クラスに属する場合、τ が任意であっても、PPM に対して多項式時間アルゴリズムを構築できるか？

主な発見

• π が長さ 3 の単調減少部分列を回避し、τ が長さ 4 の単調減少部分列を回避する場合でさえも、PPM が NP 完全であることが示され、これは順列の真の遺伝的クラス内で知られる最初の NP 困難性結果である。
• 硬度結果はタイトである：π と τ がともに長さ 3 の単調減少部分列を回避する場合、および π が長さ 2 の単調減少部分列を回避する場合に、PPM は多項式時間で解ける。
• Av(321) の任意の真の遺伝的部分クラス C に対して、π ∈ C かつ τ が任意の場合に PPM が多項式時間で解けることが示され、tractability の鋭い閾値が特定された。
• Av(α) に制限された PPM に対して完全な複雑度二分法が確立された：問題は、α が {1, 12, 21, 132, 213, 231, 312} のいずれかである場合に限り多項式時間で解ける。
• 本稿は、Av(α) 内で PPM が tractable となるすべての順列 α を完全に特徴付け、すべてのこのような制限付きクラスにおける PPM の複雑性を解消した。
• スケイ・マージドパターンに対しても同様の硬度および tractability の結果が得られ、二分法がもう一つの自然な順列クラスへ拡張された。