[論文レビュー] Hardness of Vertex Deletion and Project Scheduling

Ola Svensson|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2012

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 10被引用数 12

ひとこと要約

一意ゲーム予想を仮定すると、本稿は有向グラフ上のフィードバック頂点集合（FVS）問題とDAG頂点削除（DVD）問題に対して強い近似不能性結果を確立する。任意の整数 $k \geq 2$ および任意に小さい $
> 0$ に対して、これらの問題は、グラフがほぼ $k$ 個の解に分割可能であっても、$k - \epsilon$ 要因以内での近似が不可能であることが示され、離散的時間-コストトレードオフ問題の困難性に影響を及ぼす。

ABSTRACT

Assuming the Unique Games Conjecture, we show strong inapproximability results for two natural vertex deletion problems on directed graphs: for any integer $k\geq 2$ and arbitrary small $ε> 0$, the Feedback Vertex Set problem and the DAG Vertex Deletion problem are inapproximable within a factor $k-ε$ even on graphs where the vertices can be almost partitioned into $k$ solutions. This gives a more structured and therefore stronger UGC-based hardness result for the Feedback Vertex Set problem that is also simpler (albeit using the "It Ain't Over Till It's Over" theorem) than the previous hardness result. In comparison to the classical Feedback Vertex Set problem, the DAG Vertex Deletion problem has received little attention and, although we think it is a natural and interesting problem, the main motivation for our inapproximability result stems from its relationship with the classical Discrete Time-Cost Tradeoff Problem. More specifically, our results imply that the deadline version is NP-hard to approximate within any constant assuming the Unique Games Conjecture. This explains the difficulty in obtaining good approximation algorithms for that problem and further motivates previous alternative approaches such as bicriteria approximations.

研究の動機と目的

• 一意ゲーム予想の下で、フィードバック頂点集合（FVS）およびDAG頂点削除（DVD）問題に対する強い近似不能性結果を確立すること。
• DVDに類する関係を明確にすることで、古典的な離散的時間-コストトレードオフ問題の計算の困難さを解明すること。
• 「It Ain't Over Till It's Over」定理を用いることで、従来の複雑な半定値計画法の手法を避ける、より単純なUGCに基づくFVSの近似困難性証明を提供すること。
• DVD問題がFVSほど近似が困難であることを示し、プロジェクトスケジューリングのデッドライン版に定数係数近似アルゴリズムが存在しないことを説明すること。

提案手法

• レイヤー構造とテスト頂点に基づく新しい構成を用いて、一意ゲーム問題からFVSおよびDVD問題への還元を行う。
• 還元におけるギャップ性質を強化するために、「It Ain't Over Till It's Over」定理を用いる。
• 頂点削除に結びつく時間制約を課すコスト関数を用いて、DVDインスタンスからプロジェクトスケジューリングインスタンスを構築する。
• ビット頂点とテスト頂点を用いて、経路制約をシミュレートし、結果のグラフにおける最小経路長を強制する。
• 任意のテスト頂点の定数割合を満たす色分けが存在するならば、それにより長い経路が存在することを証明し、構造的グラフ性質と近似困難性を結びつける。
• デッドライン問題の解がDVDの解に直接対応することを形式的還元により示し、近似比を保持することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一意ゲーム予想の下で、任意の $k \geq 2$ および $\epsilon > 0$ に対して、フィードバック頂点集合問題は $k - \epsilon$ 要因以内で近似可能か？
• RQ2 DAG頂点削除問題はFVSほど近似が困難であり、同じ近似不能性境界を引き継ぐか？
• RQ3 DVD問題と離散的時間-コストトレードオフ問題の間には、計算複雑性の観点からどのような関係があるか？
• RQ4 従来の複雑な道具を避けて、FVSに対してより単純なUGCに基づく困難性証明を構築可能か？
• RQ5 一意ゲーム予想の下で、離散的時間-コストトレードオフ問題のデッドライン版に定数係数近似アルゴリズムが存在するか？

主な発見

• 一意ゲーム予想を仮定すると、任意の $k \geq 2$ および $\epsilon > 0$ に対して、FVS問題は、ほぼ $k$ 個のフィードバック頂点集合に分割可能なグラフに対しても、$k - \epsilon$ 要因以内での近似が不可能である。
• 同様の条件下で、DAG頂点削除問題に対しても $k - \epsilon$ 要因以内での近似が不可能であり、強いUGCに基づく困難性結果が確立される。
• DVDから離散的時間-コストトレードオフ問題への還元により、プロジェクトスケジューリング問題のデッドライン版が、一意ゲーム予想のもとで任意の定数要因以内での近似がNP困難であることが示された。
• 本稿は、従来の複雑な半定値計画法技術を避ける代わりに「It Ain't Over Till It's Over」定理を用いることで、FVSに対するより単純なUGCに基づく困難性証明を提供した。
• ビット頂点と $32\delta$ 分の1のテスト頂点からなる部分グラフは、長さが少なくとも $\delta^2 L$ の経路を含むことが示され、構造的性質と近似不能性を結びつける。
• 還元におけるコスト関数により、元のグラフにおける長さ $k$ の経路が、少なくとも1つの活動に対してコスト1を要求することを強制し、頂点削除とスケジューリングモデルにおけるコストを直接結びつける。