[論文レビュー] Hardness Results on Curve/Point Set Matching with Fréchet Distance

Paul Accisano, Alper Üngör|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2012

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 6被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、連続的Curve/Point Set Matching (CPSM)問題—与えられた点集合Sのすべての点を訪問する多角形曲線を、基準曲線PとのFréchet距離 ≤ ε で見つける問題—が、Sの点を再訪問してもしなくても、両方のケースでNP完全であることを証明している。この結果は、制限付き3SAT問題への還元によって確立され、特定の幾何的制約下では非一意ケースに対して多項式時間アルゴリズムが同定されている。

ABSTRACT

Let P be a polygonal curve in R^d of length n, and S be a point-set of size k. We consider the problem of finding a polygonal curve Q on S such that all points in S are visited and the Fréchet distance from $P$ is less than a given epsilon. We show that this problem is NP-complete, regardless of whether or not points from S are allowed be visited more than once. However, we also show that if the problem instance satisfies certain restrictions, the problem is polynomial-time solvable, and we briefly outline an algorithm that computes Q.

研究の動機と目的

• 連続的Curve/Point Set Matching (CPSM)問題の計算複雑性を特定すること。
• 点集合Sのすべての点をちょうど一度だけ訪問しなければならない（一意版）か、再訪問が許可される（非一意版）場合に、問題が依然としてNP完全であるかを調査すること。
• 問題が多項式時間で解ける幾何的制約を同定すること。
• 構築された曲線QとFréchet距離の関係を、導出されたグラフG上のパスと結びつけることにより、制限付き条件下でのアルゴリズム的構築を可能にすること。

提案手法

• NP完全性の証明のため、制限付き3SAT問題を連続的All-Points CPSM問題に還元する。
• 入力曲線Pの各セグメントを頂点とするグラフGを構築し、点集合Sの点と近接するセグメント間の接続可能性をエッジで表現する。
• G上のパスを、Sのすべての点を訪問する有効な多角形曲線Q（Fréchet距離 ≤ ε）に対応付ける。
• 幾何的性質を用いる：PのセグメントLの周囲に半径εの円筒C(L, ε)を定義し、Sの点がPのどのセグメントに対してもε以内にあること。
• Fréchet距離の連結性の性質を適用し、全体の曲線QがPに対して有界な距離を保つようにする。
• Pに沿った順序とPのセグメントへの近接性を尊重するように、区間順序に基づくグリーディな走査戦略を用いてQを構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 点集合Sの点を複数回訪問してもよい場合に、連続的All-Points CPSM問題はNP完全か？
• RQ2 点集合Sの各点をちょうど一度だけ訪問しなければならない場合に、連続的All-Points CPSM問題はNP完全か？
• RQ3 どのような幾何的制約下で、連続的All-Points CPSM問題が多項式時間で解けるか？
• RQ4 セグメントごとの近接性とパスの連結性を用いて、構築された曲線Qと入力曲線PとのFréchet距離を制限できるか？

主な発見

• 点集合Sの点を再訪問してもしなくても、一意版および非一意版の両方において、連続的All-Points CPSM問題はNP完全である。
• 特定の幾何的制約下（例：入力が制限付き3SAT条件を満たす場合）では、非一意All-Points CPSM問題に対して多項式時間アルゴリズムが存在する。
• 構築された曲線Qと入力曲線PとのFréchet距離がε以下であることは、導出されたグラフGにおいてPの開始セグメントと終了セグメントを結ぶ有効なパスが存在する場合に限り成り立つ。
• Qの構築は、Fréchet距離制約から導かれる区間順序および近接性条件を満たすセグメントと点の順序に従う限り、Sのすべての点を訪問することが保証される。
• 証明はFréchet距離の連結性の性質に依存している：部分曲線の距離がすべてε以下であれば、それらの連結曲線の距離もε以下である。
• 入力曲線Pと点集合Sが解の存在に必要な幾何的事前条件を満たしていても、NP完全性の結果は成り立つ。