[論文レビュー] Hardy and Hardy PDO type inequalities in domains. Part I

Andreas Wannebo|ArXiv.org|Jan 20, 2004

Differential Equations and Boundary Problems参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^N$ の領域における勾配および部分微分作用素（PDO）を含む鋭いハーディー型不等式を、多項式容量を用いて補集合の幾何を特徴付けることによって確立する。Sobolev空間における非負関数の分解が存在することと重み付き可積分性条件が同値であることを証明し、不等式における最良定数が境界の局所次元および容量によって制御されることを示す。

ABSTRACT

The previous "Polynomial Capacities, Poincare' type inequalities and Spectral synthesis in Sobolev space" is a prerequisite. A parallell reading is recommended.

研究の動機と目的

• 境界からの距離に依存する重みを伴うハーディー型不等式が、すべての $u \in W^{m,p}_0(\Omega)$ に対して成り立つような領域 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ を特徴付けること。
• $W^{m,p}_0(\Omega, d_{\partial\Omega}^s)$ に属する関数の、同じ空間に属する非負関数の差に分解可能であるための十分かつ必要十分条件を確立すること。
• このような不等式の有効性が、特に多項式容量および局所次元を通じて、補集合の幾何的・解析的性質とどのように関連するかを明らかにすること。
• ベッセル容量および多項式容量を道具として用い、ハーディー不等式における最良定数の構成的推定を提供すること。
• 第II部の基礎を築くこと。第II部では、高階微分作用素を含むハーディー PDO 不等式への拡張がなされる。

提案手法

• 領域 $\Omega$ のホイットニー立方体分割を用いて問題を局所化し、有限重複性の性質によって重複を制御する。
• ベッセルポテンシャルおよびベッセル核 $G_m$ との畳み込みを用いて $W^{m,p}$ に属する関数を表現し、正値性およびノルム同値性を活用する。
• 単位立方体のスケーリングを用いた二重的スケーリングの議論により、局所ノルムの推定を行い、それをグローバルに拡張する。
• 境界からの距離 $d_{\partial\Omega}(x)^s$ を重みとする重み付きソボレフ空間ノルム $||u||_{W^{m,p}(\Omega, d_{\partial\Omega}^s)}$ を導入し、境界近傍の挙動を捉えるために不可欠である。
• 準連続性および容量ゼロ集合の概念を用いて、無視できる集合を除いて関数を定義し、弱形式において堅牢性を確保する。
• 補間およびノルム分解を適用し、局所ノルム $||v_Q||_{W^{m,p}}$ を用いて、構築された関数 $v = \sum v_Q$ のグローバルノルムを上から抑え込む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ に対して、すべての $u \in W^{m,p}_0(\Omega)$ に対して不等式 $\int_\Omega |u|^p d_{\partial\Omega}^{s - mp} \, dx \leq A_0 \int_\Omega |\nabla^m u|^p d_{\partial\Omega}^s \, dx$ が成り立つための幾何的条件は何か？
• RQ2 $W^{m,p}_0(\Omega, d_{\partial\Omega}^s)$ に属するすべての関数が、同じ空間に属する二つの非負関数の差として表せるのはいつか？
• RQ3 ハーディー不等式における最良定数 $A_0$ は、特に境界の局所次元および多項式容量にどのように依存するか？
• RQ4 多項式容量およびベッセル容量は、重み付きソボレフ空間におけるハーディー不等式の有効性を特徴付けるために果たす役割は何か？
• RQ5 ホイットニー立方体上での分解問題の局所的可解性を、領域 $\Omega$ 全体へのグローバル解へどのように拡張できるか？

主な発見

• 不等式 (1.0) の十分性は、$\Omega^c$ の多項式容量が十分に大きい場合に保証され、閾値 $s_0$ は $m$, $p$, $N$ に依存する。
• 必要性はコロナリー6.19により確立され、容量条件が満たされない場合、不等式は成立しないことが示されている。
• $u \in W^{m,p}_0(\Omega, d_{\partial\Omega}^s)$ の分解 $u = u_1 - u_2$（$u_i \geq 0$ かつ同じ空間に属する）が可能であることと、重み付き可積分性条件 $\int_\Omega |u|^p d_{\partial\Omega}^{-mp + s} \, dx < \infty$ が同値である。
• 局所解 $v_Q$ を用いて構築されたグローバル解 $v = \sum v_Q$ は、$||v||_{W^{m,p}(\Omega, d_{\partial\Omega}^s)} \lesssim ||u||_{W^{m,p}(\Omega, d_{\partial\Omega}^s)}$ を満たし、このような主要関数の存在を証明する。
• 局所問題は、$u_Q = \eta_Q u$ をベッセルポテンシャル $G_m * f$ として表現し、$v_Q = \eta_{\beta Q}(G_m * f_+)$ を定義することで解かれる。これにより $v_Q \geq u_Q$, $v_Q \geq 0$, および $||v_Q||_{W^{m,p}} \leq ||u_Q||_{W^{m,p}}$ が保証される。
• 本手法により、最良定数 $A_0$ の構成的推定が得られ、その境界はホイットニー立方体の重複数および重み $d_{\partial\Omega}^s$ のスケーリングに依存する。