[論文レビュー] Hardy and Hardy-Sobolev inequalities on Riemannian manifolds

El Hadji Abdoulaye Thiam|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 19被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、次元 $N \geq 3$ のコンパクトなリーマン多様体上でのハーディーおよびハーディー＝ソボレフ不等式の最小化子の存在および非存在条件を確立する。純粋なハーディーの場合（$\sigma = 2$）、最小化子が存在するための必要十分条件は、パラメータ $\lambda$ が多様体と基点に依存する臨界閾値 $\lambda^*$ を超えることである。$\sigma \in (0,2)$ の場合、スカラー曲率のピンチング条件の下で最小化子が存在し、古典的な不等式が特異な重みを伴う曲がった幾何的設定へと拡張される。

ABSTRACT

Let $ (M,g) $ be a smooth compact Riemannian manifold of dimension $ N \geq 3 $. Given $p_0 \in M$, $λ\in \mathcal{R}$ and $σ\in (0,2]$, we study existence and non existence of minimizers of the following quotient: \begin{equation}\label{Paper Equation} μ_{λ,σ}=\inf_{u \in H^1(M)\setminus \lbrace0 brace} \frac{\displaystyle\int_M | abla u|^2 dv_g -λ\int_M u^2 dv_g }{\biggl(\displaystyle\int_M ρ^{-σ} |u|^{2^*(σ)} dv_g\biggl)^{2/2^*(σ)}}, \end{equation} where $ρ(.):=dist(p_0,.)$ denoted the geodesic distance from $p \in M$ to $p_0$. In particular for $σ=2$, we provide sufficient and necessary conditions of existence of minimizers in terms of $λ$. For $σ\in (0,2)$ we prove existence of minimizers under scalar curvature pinching.

研究の動機と目的

• コンパクトなリーマン多様体上での、勾配の $L^2$ ノルム、低次の $L^2$ 項、および臨界定数ハーディー＝ソボレフノルムを含む重み付き商の最小化子の存在と非存在を調査すること。
• 特異な重み $\rho^{-\sigma}$ を持つハーディー＝ソボレフ不等式における最良定数の達成に必要な、パrameter $\lambda$ および多様体の幾何的性質に関する鋭い条件を同定すること。ここで $\rho$ は固定された点 $p_0$ からの測地的距離である。
• 曲率、$p_0$ における特異性、およびスペクトルパrameter $\lambda$ の間の相互作用を分析することで、ユークリッド空間における古典的結果をコンパクトなリーマン多様体へと拡張すること。
• 純粋なハーディーの場合（$\sigma = 2$）の臨界閾値 $\lambda^*$ の幾何的特徴付けを、$p_0$ 近傍における多様体の局所幾何に従って行うこと。
• スカラー曲率のピンチング条件の下で、$\sigma \in (0,2)$ の場合に最小化子が存在することを証明し、ユークリッド空間におけるハーディー＝ソボレフ不等式を曲がった多様体へ一般化すること。

提案手法

• 変分的アプローチを用いて、コンパクトなリーマン多様体 $\mathcal{M}$ 上で商 $\mu_{\lambda,\sigma} = \inf_{u \in H^1(\mathcal{M}) \setminus \{0\}} \frac{\int |\nabla u|^2 - \lambda \int u^2}{\left( \int \rho^{-\sigma} |u|^{2^*(\sigma)} \right)^{2/2^*(\sigma)}}$ の最小化を検討する。
• $\sigma = 2$ の場合、局所ハーディー不等式を用いた小規模な測地的球 $B_{g}(p_0,r)$ 上での解析により、臨界閾値 $\lambda^*$ が導出され、$\mu_{0,2}(B_{g}(p_0,r)) = \left(\frac{N-2}{2}\right)^2$ が成り立つ。
• 線形作用素 $L_\lambda = -\Delta_g - \frac{(N-2)^2}{4}\rho^{-2} - \lambda\rho^{-2}$ に対する副解および上解の構成により、最小化子の存在を分析する。
• $\sigma \in (0,2)$ の場合、スカラー曲率のピンチング条件の下で存在性が示され、比較法と濃縮・コンパクトネスの議論が用いられる。
• 集中・コンパクトネスの原理と吹き上がり解析を用いて、最小化列における消滅または二分岐の可能性を排除する。
• リーのユークリッド空間におけるハーディー＝ソボレフ不等式の鋭い定数の既知の結果を、分区画の同一性と局所等長埋め込みを用いてリーマン幾何に適応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトなリーマン多様体上での、$\mu_{\lambda,2}$ の下界が最小化子を達成するのはどの $\lambda$ の値に対してか？
• RQ2 $\sigma \in (0,2)$ の場合に、ハーディー＝ソボレフ不等式の最小化子の存在を保証する多様体の幾何的条件は何か？
• RQ3 多様体のスカラー曲率は、ハーディー＝ソボレフ設定における最小化子の存在にどのように影響するか？
• RQ4 純粋なハーディーの場合（$\sigma = 2$）の臨界閾値 $\lambda^*$ は、特異点 $p_0$ 近傍における多様体の幾何にどのように関連づけられるか？
• RQ5 測地的距離 $\rho = \text{dist}(p_0, \cdot)$ は、最小化子の挙動および不等式の鋭さにどのような役割を果たすか？

主な発見

• $\sigma = 2$ の場合、下界 $\mu_{\lambda,2}$ は、$\lambda > \lambda^*(\mathcal{M}, p_0)$ であるときかつそのときに限り最小化子を達成する。ここで $\lambda^*$ は多様体と基点に依存する臨界閾値である。
• 臨界閾値 $\lambda^*$ は $p_0$ 近傍の局所幾何に依存し、局所ハーディー定数 $\left(\frac{N-2}{2}\right)^2$ がその主要な構成要素をなす。
• $\sigma \in (0,2)$ の場合、多様体のスカラー曲率がピンチング条件を満たす限り、最小化子が存在する。この条件は、変分法に必要なコンパクトネスを保証する。
• ユークリッド空間におけるハーディー＝ソボレフ不等式の最良定数 $S_{N,\sigma}$ は、$\lambda$ が十分に大きくないか、または曲率条件を満たさない限り、コンパクト多様体上では直接達成されない。
• ユークリッド空間における基底状態解 $\omega(x) = \left((N-\sigma)(N-2)\right)^{\frac{N-2}{2(2-\sigma)}}(1 + |x|^{2-\sigma})^{\frac{2-N}{2-\sigma}}$ は、$p_0$ 近傍での期待される挙動のモデルを提供する。
• 本稿は、$p_0$ における特異性が境界型特異性として扱えること、および最小化子の存在が勾配の $L^2$ ノルム、$L^2$ パラメータ項 $\lambda \int u^2$、および重み付き $L^{2^*(\sigma)}$ ノルムのバランスに依存することを確立している。