[論文レビュー] Hardy inequalities for fractional $(k,a)$-generalized harmonic oscillator

Wentao Teng|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2020

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$(k,a)$-一般化ラグエル半群の球面調和関数展開を導出し、$z = \pi i/2$ における境界値としてボーチャー型の恒等式が得られることを示している。$a$-変種ラグエル作用素 $L_{k,a}$ を用いて、$a$-変種ダンクル調和作用素 $\triangle_{k,a}$ に対する分数階のハーディー不等式を確立し、$a=2$（ダンクル・エルミート）および $a=1$（小林・真野）の既知の結果が特殊ケースとして回復されることを示している。

ABSTRACT

In this paper, we will define $a$-deformed Laguerre operators $L_{a,α}$ and $a$-deformed Laguerre holomorphic semigroups on $L^2\left(\left(0,\infty ight),dμ_{a,α} ight)$. Then we give a spherical harmonic expansion, which reduces to the Bochner-type identity when taking the boundary value $z=\frac{πi}2$, of the $(k,a)$-generalized Laguerre semigroup introduced by S. Ben Saïd, T. Kobayashi and B. Ørsted. And then we prove a Hardy inequality for fractional powers of the $a$-deformed Dunkl harmonic oscillator $ riangle_{k,a}:=\left|x ight|^{2-a} riangle_k-\left|x ight|^a$ using this expansion. When $a=2$, the fractional Hardy inequality reduces to that of Dunkl--Hermite operators given by Ó. Ciaurri, L. Roncal and S. Thangavelu. The operators $L_{a,α}$ also give a tangible characterization of the radial part of the $(k,a)$-generalized Laguerre semigroup on each $k$-spherical component $\mathcal H_k^m\left(\mathbb{R}^N ight)$ for $λ_{k,a,m}:=\frac{2m+2\left\langle k ight angle+N-2}a\geq -1/2$ defined via decomposition of unitary representation.

研究の動機と目的

• $(0,\infty)$ 上の測度 $d\mu_{a,\alpha}$ を持つ $L^2((0,\infty), d\mu_{a,\alpha})$ 上で、$a$-変種ラグエル作用素 $L_{a,\alpha}$ 及びそれらに関連する正則半群を定義すること。
• ユニタリ表現の分解を用いて、各 $k$-球面調和関数成分 $\mathcal{H}_k^m(\mathbb{R}^N)$ 上での $(k,a)$-一般化ラグエル半群の径数的部 $\Omega_{k,a}^{(m)}(\gamma_z)$ の球面調和関数展開を確立すること。
• 半群展開の境界値 $z = \pi i/2$ としてボーチャー型恒等式を導出すること。
• 半群展開を用いて、$a$-変種ダンクル調和作用素 $\triangle_{k,a}$ に対する分数階ハーディー不等式を証明すること。
• $a=2$（ダンクル・エルミート）および $a=1$（小林・真野）の既知の結果が、一般化された不等式の特別な場合として回復されることを示すこと。

提案手法

• $a$-変種ラグエル半群 $I_{a,\alpha;z} = e^{-\frac{z}{a}L_{a,\alpha}}$ を $L^2((0,\infty), d\mu_{a,\alpha})$ 上で、$a$-変種ラグエル作用素 $L_{a,\alpha}$ を無限小生成作用素として定義する。
• $S\widetilde{L}(2,\mathbb{R})$ のユニタリ表現の分解を用いて、各 $k$-球面調和関数成分 $\mathcal{H}_k^m(\mathbb{R}^N)$ 上での $(k,a)$-一般化ラグエル半群の径数的部 $\Omega_{k,a}^{(m)}(\gamma_z)$ を表現する。
• 半群と $a$-変種ラグエル半群を結ぶ恒等式 $\Omega_{k,a}^{(m)}(\gamma_z)f(s) = s^m I_{a,\lambda_{k,a,m};z}((\cdot)^{-m}f)(s)$ を確立する。
• $(k,a)$-一般化ラグエル半群の球面調和関数展開 $\mathcal{I}_{k,a}(z)f(x) = \sum_{m,j} Y_{m,j}(x') r^m I_{a,\lambda_{k,a,m};z}((\cdot)^{-m}f)(r)$ を、$f \in L^2(\mathbb{R}^N, \vartheta_{k,a}(x)dx)$ に対して導出する。
• $z = \pi i/2$ における境界値が $a$-変種ハンケル変換 $H_{a,\alpha}(f)$ に一致することを示し、既知の変換が特別な場合として回復されることを確認する。
• 半群展開を応用して、$\lambda_{k,a,m} \geq -1/2$ の条件下で $\triangle_{k,a}$ に対する分数階ハーディー不等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $(k,a)$-一般化ラグエル半群は、球面調和関数および $a$-変種ラグエル作用素を用いてどのように分解可能か？
• RQ2 $a$-変種ラグエル半群を用いて、径数的部 $\Omega_{k,a}^{(m)}(\gamma_z)$ の明示的形は何か？
• RQ3 半群の境界値 $z = \pi i/2$ は、$a$-変種ハンケル変換とどのように関係しているか？
• RQ4 $a$-変種ダンクル調和作用素 $\triangle_{k,a}$ に対して、この半群構造を用いて分数階ハーディー不等式を確立できるか？
• RQ5 結果は、$a=2$（ダンクル・エルミート）および $a=1$（小林・真野）の既知のケースにどのように特殊化されるか？

主な発見

• $(k,a)$-一般化ラグエル半群の球面調和関数展開は、$\mathcal{I}_{k,a}(z)f(x) = \sum_{m,j} Y_{m,j}(x') r^m I_{a,\lambda_{k,a,m};z}((\cdot)^{-m}f)(r)$ で与えられ、$f \in L^2(\mathbb{R}^N, \vartheta_{k,a}(x)dx)$ かつ $4\langle k\rangle + 2N + a - 4 \geq 0$ の条件下で成り立つ。
• $a$-変種ラグエル半群 $I_{a,\alpha;z}$ は $z = \pi i/2$ で $a$-変種ハンケル変換 $H_{a,\alpha}$ に簡約され、$e^{(\alpha+1)\pi i/2} I_{a,\alpha;\pi i/2}(f) = H_{a,\alpha}(f)$ が成り立つ。
• 半群の径数的部 $\Omega_{k,a}^{(m)}(\gamma_z)$ は明示的に $\Omega_{k,a}^{(m)}(\gamma_z)f(s) = s^m I_{a,\lambda_{k,a,m};z}((\cdot)^{-m}f)(s)$ として与えられ、$\lambda_{k,a,m} = \frac{2m + 2\langle k\rangle + N - 2}{a}$ である。
• $\triangle_{k,a}$ に対する分数階ハーディー不等式は $\lambda_{k,a,m} \geq -1/2$ の条件下で証明され、$a=2$（ダンクル・エルミート）および $a=1$（小林・真野）の既知の結果を一般化する。
• $\Omega_{k,a}^{(m)}(\gamma_z)$ の無限小生成作用素は $-\frac{1}{a} L_{a,\lambda_{k,a,m}}$ であり、$a$-変種ラグエル作用素と半群の径数的部との関係が確認される。
• 径数関数 $f = f_0(|\cdot|)$ で $f_0 \in \mathcal{S}(\mathbb{R}_+)$ である場合、作用素 $\triangle_{k,a}$ は $\triangle_{k,a}f(x) = -L_{a,\lambda_a}(f_0)(r)$ として作用し、径数関数に対するダンクルラプラシアンの既知の公式が回復される。