[論文レビュー] Hardy-Littlewood, Hausdorff-Young-Paley inequalities, and Lp-Lq Fourier multipliers on compact homogeneous manifolds

Rauan Akylzhanov, Ерлан Нурсултанов+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2015

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 23被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、コンpact同調的多様体上における非可換Hardy-Littlewood、Hausdorff-Young-Paley、およびPaley不等式を確立し、関数のフーリエ係数を用いた$L^p$-可積分性の鋭い基準を提示する。非一様Plancherel測度を伴う離散的・順序付き集合における新規な抽象的Marcinkiewicz補間定理を用いて、コンパクトLie群上でのフーリエ乗数の$L^p$-$L^q$有界性条件を導出する。

ABSTRACT

In this paper we prove new inequalities describing the relationship between the "size" of a function on a compact homogeneous manifold and the "size" of its Fourier coefficients. These inequalities can be viewed as noncommutative versions of the Hardy-Littlewood inequalities obtained by Hardy and Littlewood on the circle. For the example case of the group SU(2) we show that the obtained Hardy-Littlewood inequalities are sharp, yielding a criterion for a function to be in $L^p$ on SU(2) in terms of its Fourier coefficients. We also establish Paley and Hausdorff-Young-Paley inequalities on general compact homogeneous manifolds. The latter is applied to obtain conditions for the $L^p$-$L^q$ boundedness of Fourier multipliers for $1

研究の動機と目的

• 円周上での古典的Hardy-Littlewood不等式を任意のコンパクト同調的多様体$G/K$へ拡張すること。
• コンパクトLie群および同調的空間上でのフーリエ乗数の$L^p$-$L^q$有界性基準を確立すること。
• 非一様Plancherel測度を伴う離散的ユニタリ双対上での行列値作用素の一般補間枠組みを構築すること。
• フーリエ係数の減衰に基づいた$L^p(G/K)$への属するための鋭い基準を提供すること。
• スペクトル的および表現論的道具を用いて、非アーベルかつ非アーベル対称空間へのHausdorff-YoungおよびPaley不等式の一般化を行うこと。

提案手法

• クラスI表現の類$\widehat{G}_0$上でのPlancherel測度$\mu(Q) = \sum_{\pi \in Q} d_\pi k_\pi$を用いて、$G/K$上での非可換Hardy-Littlewood不等式を導出する。
• 不等式をスピンパラメータ$\langle \pi \rangle$、次数$d_\pi$、および$\pi$内での$K$-不変ベクトルの重複度$k_\pi$の観点から表現する。
• 全順序離散集合上での一般化されたMarcinkiewicz補間定理を、非一様重み$\nu_\pi$を伴う行列値列に適用する。
• Hilbert-Schmidtノルム$\|\widehat{f}(\pi)\|_{\mathrm{HS}}$を用い、$\sqrt{k_\pi}$で正規化することで、ユニタリ双対上での$\ell^p$-型ノルムを定義する。
• フーリエ変換作用素の弱型$(p_1,p_1)$および$(p_2,p_2)$推定の間の補間により、Hausdorff-Young-Paley不等式を確立する。
• 抽象的補間結果を応用して、コンパクト同調的多様体上での$1 < p \leq 2 \leq q < \infty$におけるフーリエ乗数の$L^p$-$L^q$有界性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト同調的多様体上での非可換Hardy-Littlewood不等式の類似は何か？
• RQ2 $G/K$上での関数の$L^p$-可積分性は、そのフーリエ係数の減衰によってどのように特徴づけられるか？
• RQ3 コンパクトLie群上でのフーリエ乗数の$L^p$-$L^q$有界性を保証する条件は何か？
• RQ4 Marcinkiewicz補間定理は、離散的かつ重み付きユニタリ双対上での行列値作用素に適応可能か？
• RQ5 コンパクト同調的空間上でのHausdorff-Young-Paley不等式の鋭い形は何か？

主な発見

• Hardy-Littlewood不等式は、$1 < p \leq 2$に対して$\sum_{\pi \in \widehat{G}_0} d_\pi k_\pi \langle \pi \rangle^{n(p-2)} \left( \frac{\|\widehat{f}(\pi)\|_{\mathrm{HS}}}{\sqrt{k_\pi}} \right)^p \leq C \|f\|^p_{L^p(G/K)}$で与えられ、$\mathrm{SU}(2)$上では鋭い定数が得られる。
• $G/K = \mathbb{T}$のとき、この不等式は$\mathbb{T}$上での古典的Hardy-Littlewood結果に還元され、計数測度を伴う$\ell^p(\mathbb{Z})$-ノルム推定が回復される。
• Hausdorff-Young-Paley不等式により、コンパクト同調的多様体上での$1 < p \leq 2 \leq q < \infty$におけるフーリエ乗数の$L^p$-$L^q$有界性が得られる。
• 同じ補間機構を用いて、コンパクトLie群上での一般（非不変）作用素の$L^p$-$L^q$有界性が確立される。
• 抽象的Marcinkiewicz補間定理は、任意の正の重み$\nu_\pi$を伴う離散集合上での行列値列に拡張され、非一様Plancherel測度上での補間を可能にする。
• $\mathrm{SU}(2)$上でのHardy-Littlewood不等式の鋭さが示され、フーリエ係数を用いた$L^p(\mathrm{SU}(2))$関数の完全な特徴づけが得られる。