[論文レビュー] Hardy-Littlewood inequalities and Fourier multipliers on SU(2)

Rauan Akylzhanov, Ерлан Нурсултанов+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2014

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 23被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、コンパクトなリー群 SU(2) 上で、非可換版の Hardy-Littlewood および Paley 不等式を確立し、フーリエ乗数の $L^p$–$L^q$ 演算子ノルムの鋭い下界および上界を導出する。表現論とスペクトル分解を用いることで、古典的な乗数定理を非可換設定に一般化し、$1 < p \leq 2 \leq q < \infty$ の範囲で $p$ および $q$ に明示的な依存関係を持つ結果を得る。主な貢献は、定理 1.1 の非可換版の確立であり、ノルム推定値は次元に依存する係数でスケーリングされた乗数記号のトレースを含む。

ABSTRACT

In this paper we prove a noncommutative version of Hardy-Littlewood inequalities relating a function and its Fourier coefficients on the group $SU(2)$. As a consequence, we use it to obtain lower bounds for the $L^p-L^q$ norms of Fourier multipliers on the group $SU(2)$, for $1 &lt; p \leq 2 \leq q &lt; 1$. In addition, we give upper bounds of a similar form, analogous to the known results on the torus, but now in the noncommutative setting of $SU(2)$.

研究の動機と目的

• コンパクト群 SU(2) の非可換設定における古典的な Hardy-Littlewood および Paley 不等式を拡張すること。
• SU(2) 上のフーリエ乗数の $L^p$–$L^q$ 演算子ノルムの鋭い下界および上界を、$p$ および $q$ に明示的に依存する形で導出すること。
• Stein が $p \neq 2$ の場合に $\mathbf{m}^q_p$ に属する乗数を特徴づける問題を提起しているのを受けて、$p$ および $q$ に依存する推定値を提供すること。
• トーラス上の古典的乗数定理を、SU(2) の非アーベルな設定に一般化し、コンパクトなリー群上の調和解析を用いること。

提案手法

• 著者たちは、SU(2) 上のフーリエ解析を用い、関数が $l \in \frac{1}{2}\mathbb{N}_0$ でラベル付けられた無限小ユニタリ表現に分解されることに着目する。各表現の次元は $2l+1$ である。
• 彼らは、$\widehat{Af}(l) = \sigma_A(l)\widehat{f}(l)$ によりフーリエ乗数 $A$ を定義し、ここで $\sigma_A(l)$ は $\mathbb{C}^{(2l+1)\times(2l+1)}$ 上の行列値記号である。
• 下界は、$\sigma_A(l)$ のトレースを用い、$(2l+1)^{1 + \frac{1}{q} - \frac{1}{p}}$ でスケーリングすることで得られ、古典的な上界条件の非可換版を確立する。
• 上界は、実補間および弱型推定値を用いて得られ、群およびその双対空間 $\widehat{G}$ 上の分布関数 $\mu_G(t; f)$ と Lorentz ノルム技法が用いられる。
• 証明では、関数の dyadic 分解と Calderón–Zygmund 法が用いられ、$f = f_1 + f_2$ に分割して分布関数を制御する。
• 重要なステップとして、$z = A/y$ を選んで補間パラメータを最適化し、最終的な推定値 $M_1^{1-\theta} M_2^\theta$ を得る。ここで $\theta$ は $p_1$ と $p_2$ の間を補間する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SU(2) のような非可換群に、古典的な Hardy-Littlewood および Paley 不等式をどのように拡張できるか？
• RQ2 SU(2) 上のフーリエ乗数の $L^p$–$L^q$ 演算子ノルムの鋭い推定値は何か？ また、$p$ および $q$ にどのように依存するか？
• RQ3 $1 < p \leq 2 \leq q < \infty$ の範囲で、古典的乗数定理の非可換版を確立できるか？
• RQ4 SU(2) の表現論は、フーリエ乗数の構造およびその有界性にどのように影響するか？
• RQ5 補間技法を、コンパクトなリー群上の乗数の $L^p$–$L^q$ 界を導出するためにどのように適応できるか？

主な発見

• 非可換版の Hardy-Littlewood 不等式が確立された：$\displaystyle \sup_{l \in \frac{1}{2}\mathbb{N}_0} \frac{1}{(2l+1)^{1 + \frac{1}{q} - \frac{1}{p}}} \left| \operatorname{Tr} \sigma_A(l) \right| \lesssim \|A\|_{L^p \to L^q}$ for $1 < p \leq 2 \leq q < \infty$。
• 上界が導出された：$\|A\|_{L^p \to L^q} \lesssim \sup_{k \in \mathbb{N}} \frac{1}{k^{1 + \frac{1}{q} - \frac{1}{p}}} \sum_{m=1}^k \lambda_m^*$、ここで $\lambda_m^*$ は乗数記号の固有値の非増加順列置換である。
• SU(2) 上のフーリエ乗数 $A$ の $L^p$–$L^q$ 演算子ノルムは、$\|Af\|_{\ell^p(\widehat{G})} \leq K_{p,p_1,p_2} M_1^{1-\theta} M_2^\theta \|f\|_{L^p(G)}$ を満たす。ここで $\theta$ は $p_1$ と $p_2$ の間を補間する。
• 補間法により鋭い定数 $K_{p,p_1,p_2} = \left( \frac{p_1}{p - p_1} + \frac{p_2}{p_2 - p} \right)^{1/p}$ が得られ、$p_1 < p < p_2$ の範囲で有効である。
• 証明技法は、実補間および分布関数の推定値に依拠し、$z = A/y$ を選んで関数分解の二つの部分をバランスさせる。
• 結果は、トーラス上の定理 1.1 の完全な非可換版を提供し、今や SU(2) およびその非アーベルな調和解析に対して有効である。