[論文レビュー] Hardy's inequality in a limiting case on general bounded domains

Jaeyoung Byeon, Futoshi Takahashi|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$ \mathbb{R}^N $ 内の有界領域 $ \Omega $ におけるハーディーの不等式の極限ケースにおける最良定数 $ C_N(\Omega) $ を調査している。重み関数は $ |x|^{-N} \left(\log \frac{R}{|x|}\right)^{-N} $ を含む。$ C_N(\Omega) > C_N(B_R) $ となる十分条件を確立し、特定の領域では $ C_N(\Omega) $ が達成されないことを証明している。特に、$ C_2(\Omega) > 1/4 $ を満たす $ \mathbb{R}^2 $ 内の特定の平面領域に対しても同様の結果が得られている。

ABSTRACT

In this paper, we study Hardy's inequality in a limiting case: $$ \int_Ω | abla u |^N dx \ge C_N(Ω) \int_Ω \frac{|u(x)|^N}{|x|^N \left(\log \frac{R}{|x|} ight)^N} dx $$ for functions $u \in W^{1,N}_0(Ω)$, where $Ω$ is a bounded domain in $\mathbb{R}^N$ with $R = \sup_{x \in Ω} |x|$. We study the (non-)attainability of the best constant $C_N(Ω)$ in several cases. We provide sufficient conditions that assure $C_N(Ω) > C_N(B_R)$ and $C_N(Ω)$ is attained, here $B_R$ is the $N$-dimensional ball with center the origin and radius $R$. Also we provide an example of $Ω\subset \mathbb{R}^2$ such that $C_2(Ω) > C_2(B_R) = 1/4$ and $C_2(Ω)$ is not attained.

研究の動機と目的

• 一般の有界領域 $ \Omega \subset \mathbb{R}^N $ におけるハーディーの不等式の極限ケースにおける最良定数 $ C_N(\Omega) $ を分析すること。
• $ B_R $ を原点を中心とする半径 $ R $ の球体とするとき、$ C_N(\Omega) > C_N(B_R) $ となる条件を同定すること。
• 臨界 $ L^N $-ケースにおける最良定数 $ C_N(\Omega) $ の達成可能性を調査すること。
• $ \mathbb{R}^2 $ 内で $ C_2(\Omega) > 1/4 $ であり、かつ $ C_2(\Omega) $ が達成されないような明示的な例を構成すること。

提案手法

• $ C_N(\Omega) $ を $ W^{1,N}_0(\Omega) $ 内の非ゼロ関数に対する比 $ \frac{\int_\Omega |\nabla u|^N dx}{\int_\Omega \frac{|u|^N}{|x|^N (\log \frac{R}{|x|})^N} dx} $ の下界として定義する。
• 変数変換と球座標を用いて、角方向および径方向の微分を含む一次元問題に問題を簡略化する。
• 関数 $ (0, \pi) $ 上での最小化問題を通じて変分法を適用し、スツルム＝リウヴィル型固有値問題に帰着させる。
• $ \mathbb{R}^2 $ 内の領域 $ \Omega $ を、境界付近での角方向の性質を特定の方法で設計することで、$ C_2(\Omega) > 1/4 $ を保証する。
• 部分積分と $ u_\alpha(\theta) = (\sin \theta)^\alpha $ の形をしたテスト関数を用いて、下界を推定し、それが $ 1/4 $ から上から近づくことを示す。
• 任意の最小化関数が径方向微分を零にしなければならないが、これは境界条件がゼロであることを満たさないため、矛盾が生じることを示し、非達成性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハーディーの不等式の極限ケースにおける最良定数 $ C_N(\Omega) $ が $ C_N(B_R) $ より厳密に大きい条件は何か？
• RQ2 最良定数 $ C_N(\Omega) $ が $ W^{1,N}_0(\Omega) $ 内で達成されるのはいつか？
• RQ3 $ C_N(\Omega) > C_N(B_R) $ であり、かつ $ C_N(\Omega) $ が達成されないような領域を構成できるか？
• RQ4 原点付近および境界付近における領域の幾何的性質が、定数の鋭さと達成可能性に果たす役割は何か？

主な発見

• 特定の領域 $ \Omega \subset \mathbb{R}^2 $ に対して、最良定数は $ C_2(\Omega) > 1/4 = C_2(B_R) $ を満たし、球体よりも厳密に改善されていることが示された。
• 構成された領域において、最良定数 $ C_N(\Omega) $ は $ W^{1,N}_0(\Omega) $ 内で達成されないが、$ C_N(B_R) $ よりも厳密に大きい。
• 下界 $ E = \inf \frac{\int_0^\pi (\phi_\theta)^2 d\theta}{\int_0^\pi \frac{\phi^2}{\sin^2 \theta} d\theta} $ は $ 1/4 $ に等しく、しかし $ W^{1,2}_0(0,\pi) $ 内では達成されない。
• 定数 $ C_N(\Omega) $ は $ \left(\frac{N-1}{N}\right)^N $ で下から抑えられており、球体 $ B_R $ の極限においてのみ等号が成り立つ。
• 変換 $ u_\lambda(x) = \lambda^{-(N-1)/N} u\left( (|x|/R)^{\lambda-1} x \right) $ によるスケーリング不変性が解析において中心的な役割を果たす。
• 非達成性は、任意の最小化関数が回転対称的（径方向）でなければならないが、そのような関数は自明でない限り境界条件を満たせないため生じる。