[論文レビュー] Hardy-Sobolev-Maz'ya inequalities for higher order derivatives on half spaces

Guozhen Lu, Qiaohua Yang|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2017

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 27被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、双曲的空間および対称空間上のフーリエ解析を用いて、上半空間上における高階微分作用素に対する鋭利なハーディー＝ソボレフ＝マズヤの不等式を確立する。本稿では、双曲空間上に新たなハーディー＝リトルウッド＝ソボレフの不等式を確立し、3次元における鋭利な定数の別証明を提示するとともに、次元5およびバイラプラシアンの場合、ハーディー＝ソボレフ＝マズヤの不等式における鋭利な定数が古典的ソボレフ定数に一致することを示している。

ABSTRACT

By using, among other things, the Fourier analysis techniques on hyperbolic and symmetric spaces, we establish the Hardy-Sobolev-Maz'ya inequalities for higher order derivatives on half spaces. The proof relies on a Hardy-Littlewood-Sobolev inequality on hyperbolic spaces which is of its independent interest. We also give an alternative proof of Benguria, Frank and Loss' work concerning the sharp constant in the Hardy-Sobolev-Maz'ya inequality in the three dimensional upper half space. Finally, we show the sharp constant in the Hardy-Sobolev-Maz'ya inequality for bi-Laplacian in the upper half space of dimension five coincides with the Sobolev constant.

研究の動機と目的

• 上半空間上における高階微分作用素に対するハーディー＝ソボレフ＝マズヤの不等式を拡張すること。
• 双曲空間上に新たなハリー＝リトルウッド＝ソボレフの不等式を確立し、主要な技術的道具として用いること。
• 次元5におけるバイラプラシアンに対するハリー＝ソボレフ＝マズヤの不等式における鋭利な定数が、古典的ソボレフ定数に一致することを証明すること。
• 双曲空間の技法を用いて、3次元におけるハリー＝ソボレフ＝マズヤの不等式における鋭利な定数の別証明を提示すること。
• 共形不変性およびスペクトル論理を用いて、半空間モデルにおける不等式とポアンカレ球モデルにおける不等式を結びつけること。

提案手法

• 双曲空間上のフーリエ解析および径数関数に対するプランシュレルの公式を用いる。
• ポアンカレ球モデル上におけるGJMS作用素およびパネイツ作用素を適用し、高階ソボレフ型不等式を導出する。
• 双曲距離およびモビウス変換を含む、双曲空間上に新たなハリー＝リトルウッド＝ソボレフの不等式を確立する。
• 双曲空間上におけるラプラシアン＝ベルトラミー作用素のスペクトルギャップを用いて、鋭利なハリー型不等式を導出する。
• 双曲空間の共形不変性および半空間モデルと球モデルの等価性に依拠する。
• 次元5における作用素$(-\Delta_{\mathbb{H}} - 4)(-\Delta_{\mathbb{H}} - 3)$の逆作用素を用いて、ソボレフ定数とハリー＝ソボレフ＝マズヤ定数を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハリー＝ソボレフ＝マズヤの不等式は、上半空間上における高階微分作用素へ拡張可能か？
• RQ2 次元5およびバイラプラシアンにおけるハリー＝ソボレフ＝マズヤの不等式における鋭利な定数は何か？
• RQ3 上半空間上における高階ハリー＝ソボレフ＝マズヤの不等式における鋭利な定数は、古典的ソボレフ定数に等しいか？
• RQ4 双曲空間上におけるハリー＝リトルウッド＝ソボレフの不等式を用いて、高階作用素に対する鋭利なソボレフ型不等式を導出可能か？
• RQ5 GJMS作用素および共形ラプラシアンは、高階ハリー＝ソボレフ＝マズヤの不等式における鋭利な定数とどのように関係するか？

主な発見

• 本稿は、双曲距離およびモビウス変換を含む、双曲空間上に新たなハリー＝リトルウッド＝ソボレフの不等式を確立し、これは独立した価値を持つ。
• 次元$n=5$および$k=2$の場合、バイラプラシアンに対するハリー＝ソボレフ＝マズヤの不等式における鋭利な定数は、古典的ソボレフ定数$S_{5,2}$に一致する。
• 3次元におけるラプラシアンに対するハリー＝ソボレフ＝マズヤの不等式における鋭利な定数が、双曲空間の技法を用いた別証明により、対応するソボレフ定数に等しいことが示された。
• 不等式$\int_{\mathbb{B}^5} (P_2 u) u \, dV - \frac{9}{16} \int_{\mathbb{B}^5} u^2 \, dV \geq S_{5,2} \left( \int_{\mathbb{B}^5} |u|^{10/3} \, dV \right)^{3/5}$は、鋭利な定数$S_{5,2}$に対して等号が成立する。
• 次元5における逆作用素$[(-\Delta_{\mathbb{H}} - 4)(-\Delta_{\mathbb{H}} - 3)]^{-1}$が明示的に計算され、$\frac{1}{2\sinh(\rho/2)\cosh^2(\rho/2)}$を含む重要な推定が得られた。
• 半空間モデルと球モデルの等価性が用いられ、双曲空間上の不等式をユークリッド的半空間へ移行させ、バイラプラシアンの場合における定数の鋭利性が確認された。