[論文レビュー] Hardy-Sobolev-Rellich, Hardy-Littlewood-Sobolev and Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequalities on general Lie groups

Michael Ruzhansky, Nurgissa Yessirkegenov|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ユニモジュラーおよび非ユニモジュラーの両方を含む一般の連結リー群において、重み付きハーディー、ハーディー＝ソボレフ、ハーディー＝リトルウッド＝ソボレフ、およびカファレッリ＝コーン＝ニレングェルの不等式を確立する。極座標分解を備えた測度空間上における二重重みハーディー不等式の必要十分条件を導出し、古典的不等式を非ユニモジュラーリー群へ拡張するとともに、ソボレフ埋め込みおよび不確実性原理の新しい証明を統一的な枠組みで提示する。

ABSTRACT

In this paper we establish a number of geometrical inequalities such as Hardy, Sobolev, Rellich, Hardy-Littlewood-Sobolev, Caffarelli-Kohn-Nirenberg, Gagliardo-Nirenberg inequalities and their critical versions for an ample class of sub-elliptic differential operators on general connected Lie groups, which include both unimodular and non-unimodular cases in compact and noncompact settings. We also obtain the corresponding uncertainty type principles.

研究の動機と目的

• 古典的ハーディー、ハーディー＝ソボレフおよび関連不等式を、ユニモジュラーおよびコンパクトな状況を含む一般の連結リー群へ拡張すること。
• 極座標分解を備えた測度空間上における二重重みハーディー不等式の必要十分条件を導出すること。
• リー群上におけるソボレフ埋め込みおよび不確実性原理に関する既存の結果を統一的かつ一般化すること。
• 新しい不等式を用いて、非ユニモジュラーリー群上におけるソボレフ埋め込み定理の代替的証明を提供すること。

提案手法

• 径数関数および類似径数関数の解析を用いて、極座標分解を備えた測度空間上における二重重みハーディー不等式を導出する。
• 特に演算子 $\Delta_\chi = -\sum_{j=1}^n (X_j^2 + c_j X_j)$ で定義される、リー群上のドリフト付きサブラプラシアンの理論を応用し、重み付きソボレフ空間 $L^p_\alpha(\mu_\chi)$ を定義する。
• 熱核推定および関数 $G_{\alpha,\chi}^c(x)$ を用いた積分表現を用いて、解の減衰および増大を制御する。
• ホルダーの不等式および補間技法を適用し、重み付き $L^p$ および $L^q$ 空間間の埋め込み結果を導出する。
• 熱核および特徴関数の有界性を活用して、コンパクトリー群への適用を適応する。
• 双対性およびノルム比較を用いて、導出された不等式の副産物として不確実性原理を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の極座標分解を備えた測度空間上における二重重みハーディー不等式が成立するための必要十分条件は何か？
• RQ2 ハーディー＝ソボレフおよび関連不等式は、非ユニモジュラーリー群へどのように拡張可能か？
• RQ3 重み付きソボレフ空間および埋め込みを定義する際、モジュラー関数 $\delta$ および特徴関数 $\chi$ の果たす役割は何か？
• RQ4 古典的ソボレフ埋め込み定理は、ハーディー型不等式の統一的枠組みを用いて再導出可能か？
• RQ5 一般のリー群上における導出不等式から生じる不確実性原理は何か？

主な発見

• 本稿は、極座標分解を備えた一般の測度空間上における二重重みハーディー不等式を確立し、重みのための必要十分条件を提供する。
• 一般の連結リー群上におけるハーディー＝ソボレフ不等式を証明する：条件 $1/p - 1/q \leq \alpha/d - \beta/(dq)$ の下で $\left\| \frac{f}{|x|^{\beta/q}} \right\|_{L^q(\mu_{\chi^{q/p}\delta^{1-q/p}})} \lesssim \|f\|_{L^p_\alpha(\mu_\chi)}$ が成り立つ。
• $d/p \leq \alpha < d$ の場合、ハーディー＝ソボレフ不等式はすべての $q \geq p$ に対して成立し、有効範囲が拡張される。
• カファレッリ＝コーン＝ニレングェルの不等式は、主たるハーディー＝ソボレフ結果の帰結として導出され、明示的な重み条件が得られる。
• ガリャルド＝ニレングェルおよび臨界版の不等式も、同じ枠組みで確立される。
• 非ユニモジュラーリー群上におけるソボレフ埋め込み定理の代替的証明が、新しいハーディー型不等式を用いて得られる。